【NOIP 2009】Hankson 的趣味题（唯一分解定理）

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大致思路：

找办法确定x的范围

我们联想到gcd，lcd对于唯一分解定理的运用

即a,b,gcd(a,b)分解质因数后，gcd(a,b)每个质因子的次数是min(在a中出现的次数，b中出现的次数)

lcm变成max即可

那么也就是说 我们可以给a1,a0,b1,b0分解质因数，从而通过 每个质因子次数作比较 来推断x的取值范围

假设px,p0,p1分别是某个质因子在x,a0,a1里的次数

则有
{
1.若p0<p1 那么不满足gcd的关系，需舍掉（因为是取min）
2.若p0=p1 那么px可以取无限大 只要大于p1
3.若p0>p1 那么px只能取p1
}

lcm同理。

由于数的范围很大，2,000,000,000，我们肯定不能筛2,000,000,000以内的质数，考虑到每个数最多只拥有一个大于根号的质因子，我们只需筛到sqrt(2,000,000,000)~=50000即可，最后一个特大数再特判。

具体看代码注释

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int prime[10005],cnt;
bool vis[50005];
void Euler_pick(int n)
{
	memset(vis,false,sizeof(false));
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!vis[i])	prime[++cnt]=i;
		for(int j=1;i*prime[j]<=n;j++)
		{
			vis[i*prime[j]]=true;
			if(i%prime[j]==0)	break;
		}
	}
}
int main()
{
	Euler_pick(50000); 
	int T;
	cin>>T;
	while(T--)
	{
		int a0,a1,b0,b1,ans=1;
		bool flag=false;
		cin>>a0>>a1>>b0>>b1;
		if(a1>a0||b1<b0)
		{
			cout<<"0"<<'\n';
			continue;
		}
		for(int i=1;i<=cnt;i++)
		{
			if(a0==a1==b0==b1==1)	break;
			int ka0=0,ka1=0,kb0=0,kb1=0;
		
			while(a0%prime[i]==0)	{ka0++;a0/=prime[i];}
			while(a1%prime[i]==0)	{ka1++;a1/=prime[i];} 
			while(b0%prime[i]==0)	{kb0++;b0/=prime[i];} 
			while(b1%prime[i]==0)	{kb1++;b1/=prime[i];} 
		
			if(ka0<ka1||kb0>kb1)	{flag=true;break;}
		
			int l1=ka1,l2=0,r1=100000,r2=kb1;
			//l1,l2分别是两个式子的下界限制，r1,r2是上界限制 
			//由唯一分解定理可知
			/*
			  对于gcd 
			  {
			 		若ka0=ka1 此时是没有上界的 r1无限大 l1就是ka1 
					若ka0>ka1 此时kx只能取ka1 所以l1=r1=ka1 
			  }
			  对于lcm
			  {
			  		若kb0=kb1 此时是有上界的 r2为kb1 没有下界  
					若kb0<kb1,此时kx只能取kb1 所以l2=r2=kb2  
					从此可以看出r2=kb1 
			  } 
			  这里我们代码的写法偷一点懒 
			  */
			if(ka0>ka1) r1=ka1;
			if(kb0<kb1) l2=kb1;
			int l=max(l1,l2);
			int r=min(r1,r2);//小小取大，大大取小 
			if(r<l)	{flag=true;break;};
			ans=(long long)ans*(r-l+1);
		}
		//分解sqrt范围内数据完毕 此时可能会有一个大于50000的质因子存在  
		if(!(a0==1&&a1==1&&b0==1&&b1==1))
		{
			if(a0<a1||b0>b1)	flag=true; 
			if(a1==a0&&a1!=1)	ans*=2;//a1==a0保证了剩下的数就是某个大质因子 而不是从上面break下来的 
			if(b1==b0&&b1!=1)	ans*=2; 
		}
		if(flag==true)	ans=0;
		cout<<ans<<'\n';
	}
	return 0;
}