【NOIP 2006】2^k进制数（组合数+高精度）

传送门

读懂题意过后，我们会发现，难点就是在于最高位的选取，因为最高位的组成有w%k位，并不是简单的k位。

不过我们可以分开做，我们先算小于等于\({{w} \over {k}}\)的选取方案，也就是说除去最高位的。相当于就是从1~\(2^k\)-1里选i个数，总方案数为

\(\sum_{i=2}^{w/k} C_{2^{k}-1}^{i}\)

如果考虑进最高位，首位的范围小于\(2^{w mod k}\)，由于要使右边的数都大于它，相当于就是从剩下的\(2^k-i\)个可选取的数中再选\({{w} \over {k}}\)个，即方案数为

\(\sum_{i=1}^{2^{w mod k}-1} C_{2^{k}-i-1}^{w/k}\)

其实上面的式子还不够完美，在写组合数公式时，往往要考虑到\(C_{a}^{b}\)中b绝对不能大于a，因此还要取个min特判一下，不然会WA一两个点

这道题还要用高精度，采用很方便的结构体高精度即可，我写的是压位版本的，比不压位的空间，时间复杂度都要快很多很多

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=100000000;
struct bignum{
    int num[30];
    int len;
    bignum(int x)	
    {
        len=1;
        num[1]=x;
    }
    bignum()	 
    {
        memset(num,0,sizeof(num));
        len=0;	
    }
}a[525][525]; 
bignum operator +(const bignum &x,const bignum &y)
{
    bignum z;
    z.len=max(x.len,y.len);
    for(int i=1;i<=z.len;i++)	z.num[i]=x.num[i]+y.num[i]; 
    for(int i=1;i<=z.len;i++)
    {
        z.num[i+1]+=z.num[i]/mod;
        z.num[i]%=mod;
        if(z.num[z.len+1])	z.len++;
    }
    return z; 
}
void Print(bignum &A)
{
    cout<<A.num[A.len]; 
    for(int i=A.len-1;i>=1;i--)	printf("%08d",A.num[i]);//不足八位自动补零 
}
bignum one(1); 
bignum ans;
void YH_print()
{
    for(int i=0;i<=520;i++)
    {
        a[i][0]=one,a[i][i]=one;
    }
    for(int i=2;i<=520;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            a[i][j]=a[i-1][j]+a[i-1][j-1];
        }
    }
}//杨辉三角 a[i][j]可以直接取出C(i,j)的值 
int k,w,len,m,n1,n2;
int main()
{
    cin>>k>>w;
    len=w/k;
    m=w%k;
    n1=pow(2,k);
    n2=pow(2,m);//最高位取值 
    YH_print();
    for(int i=2;i<=len&&i<n1;i++)	ans=ans+a[n1-1][i];
    for(int i=1;i<n2&&i<n1-len;i++)	ans=ans+a[n1-i-1][len];
    Print(ans);
    return 0; 
}