『图论杂题题解』

AGC017E Jigsaw

只有左右边着地的拼图可以作为一个连通块的开头和结尾，不着地的拼图只能相互拼接，可以正负号建点区分左右，然后建图。

一个合法的连通块就是一条起点编号大于0，终点编号小于0的路径，图可以合法拆分的充要条件就是：

• \(1.\) 对于\(i>0\)，要求\(in_i\leq out_i\)
• \(2.\) 对于\(i<0\)，要求\(out_i\leq in_i\)
• \(3.\) 对于一个弱联通分量，要求不能成环，及存在一个点\(in_i\not=out_i\)

AGC016D XOR Replace

不妨把序列异或和放在第\(n+1\)个位置，问题转化成每次可以交换一个位置和第\(n+1\)个位置的数字，问最少几次可以让\(a,b\)序列前\(n\)个数相同。

显然新序列里只要有一个数值单独出现，异或和也会单独出现，那么无解。

考虑建图求解最小值，把\(a_i\)和\(b_i\)连边，对于一个连通块，需要边数次交换次数才能完成换位。不同的连通块之间还需一次额外的切换，那么答案就是\(n+k\)，\(k\)为连通块个数。如果第\(n+1\)个数一开始就在某个连通块里，那么答案还需减一。

ARC076D Built?

只需向横纵坐标相邻点连边即可，因为这样连边和暴力连边连通性，权值都是一样的。

求最小生成树。

CF543B Destroying Roads

显然只保留两条路径即可，预处理最短路，用最短路更新一下答案，\(n^2\)枚举路径交，再更新一下答案即可。

CF915D Almost Acyclic Graph

枚举删边再拓扑判环会超时，可以考虑拓扑判环的过程，允许其有一次入度唯一就可以进队的机会就相当于删了一条边，那么只需枚举点即可。

连通性统计

将两类边分别处理连通块编号，如果两个点在两类边中都属于通一个连通块就符合题意，用一下\(\mathrm{map}\)就好了。

最小瓶颈路

考虑\(\mathrm{Kruskal}\)算法的过程，按边权从小到大的顺序加边，那么路径瓶颈边就是最小生成树上的路径最大边，朴素算法树上倍增什么的。

考虑优化，可以直接把\(\mathrm{Kruskal}\)过程中的边权赋成点权，建点来保证连通性，其实就是\(\mathrm{Kruskal}\)重构树。那么问题转换成\(\mathrm{LCA}\)，使用一些高效率的\(\mathrm{RMQ}\)算法即可。

Disruption

考虑一条新建道路对树边的贡献，也就是说一条额外边可以贡献树上一条路径的答案，用线段树维护一下就好了。

构造完全图

考虑\(\mathrm{Kruskal}\)，已经联通的连通块里随意加入尽可能大的边即可。

最小花费

将其看做\(n+1\)个点，询问\(c[i,j]\)就是将\(s[i-1],s[j]\)两点变为有联系的，使所有点联通，最小生成树。

汉堡店

首先跑最小生成树让\(B\)尽量小，那么答案要么在最小生成树里，要么是两个点权很大的点，直接\(n^2\)枚举就好了。

生成树

设答案\(\mathrm{ans}=\prod p_i^{\alpha _i}\)，一个生成树边权的最小公倍数为\(v_T\)，那么对于质因子\(p_i\)，其\(\alpha_i\)在答案中的贡献就是所有生成树权\(v_T\)中因子\(p_i\)指数最大值。

而生成树权\(v_T\)中因子\(p_i\)指数最大值又取决于所有边权\(p_i\)因子的指数最小值。那么我们可以对每一个质因子\(p\)用每条边权上的指数跑最大生成树，根据最大生成树的性质，可以保证最小边权最大，那么乘到答案里就可以了。

需要注意常数优化，每次重新建图只取边权因子有\(p\)的边即可。

地壳运动

直接判重边建图会超时，考虑对于点对\((x,y)\)之间有\((u_i,v_i)(i=1\sim x)\)这么多条备选的边，可以设最小边权为\(f\)，有\(f=\min_{i=1}^x\{k_1u_i+k_2v_i\}\)，设最优决策为\(t\)，有\(f=k_1u_t+k_2v_t\)，化成直线方程的形式：\(v_t=-\frac{k_1}{k_2}u_t+\frac{f}{k_2}\)。

也就是说\(t\)是让一条斜率为\(-\frac{k_1}{k_2}\)切，得到截距最小的点，可以对每一条边维护一个凸壳，然后二分找切点。

把询问按照斜率排序，优化掉一个\(\log\)就可以过了。

均值最小环

二分答案，\(\mathrm{SPFA}\)判负环。

最小边权和

设\(f_{x,y,k}\)代表\(x\sim y\)，经过恰好\(k\)条边，边权不降的最短路，直接排序\(dp\)即可。

骑士游戏

列出转移，\(\mathrm{SPFA\ dp}\)即可。

交通

考虑把一条路径上的\(x\)权和\(S_x\)与\(y\)权和\(S_y\)看做一个点的横纵坐标，那么可以通过维护凸壳得知\(a\)取何值是这条路径会成为最短路，然后统计期望。

考虑到大部分点不会在凸壳上，可以用\(\mathrm{SPFA}\)的思想松弛，如果加了一条路径更新了凸壳就进入队列继续尝试更新。

小K的农场

根据题意建图，跑差分约束板子。

账本核算

根据题意建图，跑差分约束板子。

矩阵

设\(a_x\)表示第\(x\)行被加了几次，\(b_y\)表示第\(y\)列被加了几次，然后建图跑差分约束。

魔棒

答案具有单调性，直接二分答案。

设\(d_i\)表示前\(i\)秒释放能量的次数，需要约束三个条件：

\(1.\) 每秒最多释放一次。
\(2.\) 两次释放有间隔\(\mathrm{cd}\)。
\(3.\) 需要保证存活：设到第\(i\)秒位置至少要释放能量\(p\)，则\(15p+\mathrm{hp}-S_{a_{i+1}}\geq 1\)，解得\(p=\lceil\frac{S_{a_{i+1}}-\mathrm{hp}+1}{15}\rceil\)，那么需要保证在时间段\([pos,i]\)里至少释放一次能量。

差分约束即可。

构造序列

考虑连边\((u,v,w)\)，表示点\(u\)的权值比点\(v\)的权值至少大\(w\)，那么拓扑序\(\mathrm{dp}\)可以求解。

建图用线段树。