『optimization 动态规划』

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<第一次更新>

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<正文>

optimization

Description

\(visit\_world\) 发现有些优化问题可以用很平凡的技巧解决，所以他给你分享了这样一道题：

现在有一个长度为N的整数序列\(\{a_i\}\) ，你需要从中选出K个不相交的连续子区间（可以存在元素不被选），从左到右记它们的和为\(s1,s2,...,sk\)。我们的优化目标是最大化下述和式：

\[\sum_{i=1}^k|s_i−s_{i+1}| \]

你只需要输出这个最大的和即可.

Input Format

第一行两个整数N,K，意义如上.

接下来一行N个整数，第i个数表示ai，保证有\(|a_i|≤10^4\) .

Output Format

输出一行一个整数，表示答案.

Sample Input

5 3
5 2 4 3 1

Sample Output

12

解析

一道很神奇的\(dp\)。

关于绝对值的最大和，一个小\(trick\)就是拆开绝对值号，对正负两种情况都\(dp\)，最后去最大值一定就是最优解。

那么我们发现对于一个\(s_i\)，他可能有三种贡献系数：\(2,-2,0\)，这与\(s_{i-1},s_{i+1}\)与其的相对大小关系有关，当然，对于\(s_1,s_k\)，他们的贡献系数还有可能是\(1,-1\)，我们不妨由此设计状态。

设\(f[i][j][0/1/2/3]\)代表前\(i\)个数，分成\(j\)段，当前处于最大值(\(+2\)贡献)，最小值(\(-2\)贡献)，上升状态(\(0\)贡献)，下降状态(\(0\)贡献)的最大和。其中上升状态和下降状态指的就是最大值和最小值前的一些\(0\)贡献的状态。

然后就可以\(dp\)了，时间复杂度是\(O(n^3k)\)的。

考虑优化，第一个就是我们可以强制认为每一个数字都是要取的，当然不取可以放在\(0\)贡献的状态里处理。第二个每一段当中的数字贡献系数的相同的，可以直接一个一个添加数字。

\(Code:\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 3e4+20 , K = 220 , INF = 0x3f3f3f3f;
inline int read(void)
{
    int x = 0 , w = 0; char ch = ' ';
    while ( !isdigit(ch) ) w |= ch == '-' , ch = getchar();
    while ( isdigit(ch) ) x = x * 10 + ch - 48 , ch = getchar();
    return w ? -x : x;
}
int n,k,a[N],f[N][K][4];
inline void input(void)
{
    n = read() , k = read();
    for (int i=1;i<=n;i++)
        a[i] = read();
}
inline void dp(void)
{
    memset( f , 0xcf , sizeof f );
    for (int i=1;i<=n;i++)
        f[i][0][0] = f[i][0][1] = f[i][0][2] = f[i][0][3] = 0;
    f[0][0][0] = f[0][0][1] = f[0][0][2] = f[0][0][3] = 0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=min(i,k);j++)
        {
            int mul = 2;
            if ( j == 1 || j == k ) mul--;
            f[i][j][0] = max( f[i-1][j][0] , f[i-1][j-1][2] ) + mul * a[i];
            f[i][j][1] = max( f[i-1][j][1] , f[i-1][j-1][3] ) - mul * a[i];
            f[i][j][2] = max( f[i-1][j][2] , f[i][j][1] );
            f[i][j][3] = max( f[i-1][j][3] , f[i][j][0] );
            if ( mul == 1 ) continue;
            f[i][j][2] = max( f[i][j][2] , f[i-1][j-1][2] );
            f[i][j][3] = max( f[i][j][3] , f[i-1][j-1][3] );
        }
}
int main(void)
{
    input();
    dp();
    printf("%d\n",max(f[n][k][2],f[n][k][3]));
    return 0;
}

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<后记>