『正睿OI 2019SC Day1』

<更新提示>

<第一次更新>

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<正文>

概率与期望#

总结#

老师上午几乎是在讲数学课，没有讲什么和$OI$有关的题目，所以我就做了一点笔记。

到了下午，老师讲完了有关知识点和经典模型，就开始讲例题了。前两道例题是以前就做过的，所以没有什么问题。后几道例题难度就有所提升了，老师共计讲了$10$到例题，有关笔记基本上都记了 ，但是区间翻转，排序两题笔记有点缺漏，导致听挂了，还有Deep Dark Forest和凸包两题可能在细节上还有一点问题。

有关解题策略，还可以看大佬的博客。

知识点#

大概的内容就是有关期望和概率的基础概念，重要公式和若干经典问题的解答，以及一些技巧和运用的方法，重要的几个内容如下：

$1.$ $$\sum_{i=0}^nxi=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$$
就是等比数列求和公式，只需将等式两边同乘分母化简即可证明。

$2.$ $$\lim_{n->\infty}\sum_{i=0}^nxi=\frac{1}{1-x}\tag{0<x<1}$$
利用极限思想即可得到。

$3.$ $$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$$
期望的线性性，对于任意随机变量$X,Y$成立，可以利用定义直接证明。

$4.$ $$P(X=k)=P(X\leq k)-P(X \leq k-1)\P(X=k)=P(X\geq k) -P(X\geq k+1)$$
概率的前缀和，后缀和转换，可以用于推导化简。

$5.$ 发生概率为$p$的事件期望在$\frac{1}{p}$次后发生。
证明：设随机变量$X$代表直到该事件发生时的次数，则有：

$$E(X)=\sum_{i}P(X=i)*i\\=\sum_{i} \left ( P(X\geq i)-P(X\geq i+1) \right )*i\\=\sum_{i=1}^{\infty}((1-p)^{i-1}-(1-p)^{i})*i\\=\sum_{i=0}^{\infty}(1-p)^i=\frac{1}{p}$$

$6.$ $$E(X)=\sum_{i=1}^{\infty}P(X\geq i)$$
对于离散变量$X$，可以证明如下：$$E(X)=\sum_{i=1}^{{\infty}P(X=i)*i\=\sum_{i=1}}(P(X\geq i)-P(X\geq i+1))*i\=\sum_{i=1}^{\infty}P(X\geq i)$$

对于经典问题的解答，可以参照这篇博客和笔记。

例题#

例题感觉难度还是有的，也比较切合今天的知识点。但是老师讲的速度比较快，可能对题目理解还不是很透彻。在讲课时，做笔记还是很必要的，并且一定要跟上老师讲课的节奏，以防走神，如果有哪到题的笔记有问题，就先跳过，听懂当前的题，把问题留下来再解决。

以下是例题的简要题解：

$1.$ 换教室：预处理两两教室之间的最短距离，考虑每一个教师是否申请，进行线性$dp$计算最小期望即可。

$2.$ $Deep\ Dark\ Forest$：利用公式$6$将期望转化为不等式概率求和的形式。然后枚举直径长度限制$k$，用树形$dp$求概率即可。(状态：$f[x][l]$代表以$x$为根的子树中，最长链长度为$l$的概率)

$3.$ 球染色：设$f[i]$代表当前有$i$个颜色为$x$的点，可以计算当前状态选取数对产生$1$，$0$，$-1$贡献的概率，化简方程线性递推即可。

$4.$ 区间翻转：利用期望线性性转换，即求最后第$i$个点的取值期望。设$f[j][0/1]$代表第$j$次操作后，第$i$个位置为$0/1$的概率，设$p_i$代表随机一个区间，包含点$i$的概率。利用$p_i$来$dp$即可，需要矩阵乘法加速递推。

$5.$ 凸包：先利用期望的线性性进行转换，同时利用点边转换(凸包上的点数等于凸包上的边数)，即求边$(i,j)$在凸包上的概率，同时也是期望，可以根据凸包边的性质来统计。

$6.$ 单选错位：先利用期望的线性性进行转换，即求每一个位置的数抄错后正确的期望，发现可以直接表示。

$7.$ $kill$：先将题目等效转换，对每一个人一一处理，只选没死的人进行开枪操作。设$f[i][j]$代表还剩$i$个人，前面有$j$个人开了枪的概率，根据开枪次数计算概率转移即可。

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<后记>