『Tree nesting 树形状压dp 最小表示法』
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<正文>
Tree nesting (CF762F)
Description
有两个树 S、T，问 S 中有多少个互不相同的连通子图与 T 同构。由于答案 可能会很大，请输出答案模 1000000007 后的值。
两个连通子图 P、Q 称为互不相同的，当且仅当存在一个点 v∈S，使得 v∈P 与 v∈Q 恰好有一个成立。
图 G 与 H（在此题中 G 与 H 均为树）同构的定义为，存在一个一一映射 f， G 中任意一点 u 在 H 中都有唯一的点 v 与之对应；同样对 H 中任意一点 v 也有唯 一的在 G 中的点 u 与之对应。不妨设 f(u)=v, f-1 (v)=u(u∈G, v∈H)，则还有对任意 A, B∈G，若 A 与 B 之间有边相连，则 f(A)与 f(B)在 H 中也有边相连；同样的，对 任意 A, B∈H，若 A 与 B 之间有边相连，则 f -1 (A)与 f -1 (B)在 G 中也有边相连。
Input Format
第一行一个正整数|S|表示树 S 的大小
接下来|S|-1 行都有两个正整数 ui , vi表示|S|中的边
接下来一行一个正整数|T|表示树 T 的大小
接下来|T|-1 行都有两个正整数 xi , yi表示|T|中的边
Output Format
一行，一个正整数表示答案模 1000000007 后的值
Sample Input
5
1 2
2 3
3 4
4 5
3
1 2
2 3
Sample Output
3
解析
一道\(cf\)毒瘤题。
看到树同构于是想到树的最小表示法，也就是树的括号序列。以点\(x\)为根的子树的括号序列就是\(x\)所有子树的括号序列按字典序从小到大接起来，然后在最外面再套一对括号，这样就能唯一的表示一颗树。
我们先以\(T\)的每一个点为根，求一遍\(T\)的最小表示法，由于\(T\)的大小比较小，所以最小表示法序列还可以方便地用二进制数先存起来。
然后，我们考虑在\(S\)上用\(dp\)计数。\(S\)的连通子图和\(T\)同构，其大小首先一定等于\(T\)的大小，所以需要\(dp\)的范围也是很小的，考虑用状压\(dp\)。设\(f[x][S]\)代表以\(x\)为根的子树中，最小表示法序列匹配为\(S\)的方案数。
由同构的性质可知，要转移得到\(S\)，其子最小表示法序列必然要是\(T\)中一样的子最小表示法，这启发我们在求\(T\)的最小表示法时，把最小表示法是由哪几个子最小表示法序列拼凑起来的也记录下来，这个我们可以用\(map+vector\)。
接下来考虑如何\(dp\)，对于一个节点\(x\)，我们先将所有子节点先\(dp\)，再利用子节点的\(dp\)值来更新。首先我们一定要枚举\(T\)的每一个最小表示法序列，然后我们就考虑现在节点\(x\)的儿子们和当前枚举到最小表示法序列的子序列们的一一匹配，如果能匹配上，就代表我们可以转移。
若\(x\)的第\(i\)个儿子为\(ch_i\)，当前最小表示法序列的第\(j\)个子序列为\(cur_j\)，那么我们要看的就是\(f[ch_i][cur_j]\)的值，这就代表了儿子\(i\)与子序列\(j\)合法配对的方案。对于所有的\((i,j)\)满足\(f[ch_i][cur_j]>0\)都是我们需要考虑的，因为这些都代表了一种配对的可能。
如何利用子节点的\(f\)值转移得到当前节点呢？我们发现不能直接转移。可是再观察可以发现，这是另一个状压\(dp\)。
设当前最小表示法序列是由\(len\)个子最小表示法序列构成的，那么状态\(g[i][k]\)代表前\(i\)个儿子，子最小表示法序列中已经配对状态为\(k\)的配对方案数。由\(i\)来划分阶段，我们很快就可以列出状态转移方程：
为了简便，我们可以用滚动数组的技巧把\(g\)化简成两个一维的数组。
注意，这个状压\(dp\)还有一点坑：若当前的最小表示法序列有两个相同的子序列，那么我们可能会对两个子序列重复计数(就是把\((10)_2\)和\((01)_2\)这两种本质相同的选法都统计了一遍)。我们只需要最转移时特判一下即可。
好了，这样树形\(dp\)也基本上做完了，设\(x\)有\(p\)个儿子，那么我们就可以用\(g[p][2^{len}-1]\)来更新\(f[x][S]\)。当然，如果\(S\)的长度为\(2m\)的话，就对应了\(T\)整棵树的某个最小表示法，可以直接累加到最后的答案里。
\(Code:\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1020 , M = 15;
const int Mod = 1000000007;
int n,m,t1,t2,Head1[N],Head2[N];
int g[1<<M],p[1<<M],ans;
map < int , vector<int> > List;
map < int , int > f[N];
struct edge { int ver,next; } e1[N*2],e2[N*2];
inline void insert(int x,int y,int id)
{
if ( id == 1 )
e1[++t1] = (edge){y,Head1[x]} , Head1[x] = t1,
e1[++t1] = (edge){x,Head1[y]} , Head1[y] = t1;
if ( id == 2 )
e2[++t2] = (edge){y,Head2[x]} , Head2[x] = t2,
e2[++t2] = (edge){x,Head2[y]} , Head2[y] = t2;
}
inline int read(void)
{
int x = 0 , w = 0; char ch = ' ';
while ( !isdigit(ch) ) w |= ch=='-' , ch = getchar();
while ( isdigit(ch) ) x = x*10 + ch-48 , ch = getchar();
return w ? -x : x;
}
inline void input(void)
{
n = read();
for (int i=1;i<n;i++)
insert( read() , read() , 1 );
m = read();
for (int i=1;i<m;i++)
insert( read() , read() , 2 );
}
inline int lenth(int x) { return 32 - __builtin_clz(x); }
inline void connect(int &x,int y) { x = x << lenth(y) | y; }
inline int Ergodic(int x,int fa)
{
int S = 1;
vector < int > cur;
for (int i=Head2[x];i;i=e2[i].next)
{
int y = e2[i].ver;
if ( y == fa ) continue;
cur.push_back( Ergodic( y , x ) );
}
sort( cur.begin() , cur.end() );
vector < int > :: iterator it;
for (it=cur.begin();it!=cur.end();it++)
connect( S , *it );
S <<= 1;
if ( !List.count( S ) ) List[S] = cur;
return S;
}
inline void dp(int x,int fa)
{
vector < int > ch;
for (int i=Head1[x];i;i=e1[i].next)
{
int y = e1[i].ver;
if ( y == fa ) continue;
ch.push_back( y ) , dp( y , x );
}
map < int , vector< int > > :: iterator it;
for (it=List.begin();it!=List.end();it++)
{
vector < int > cur = it -> second;
int S = it -> first , len = cur.size();
memset( g , 0 , sizeof g );
g[0] = 1;
for (int i=0;i<ch.size();i++)
{
memcpy( p , g , sizeof g );
for (int j=0;j<len;j++)
{
int val = f[ch[i]][cur[j]];
if ( val == 0 ) continue;
for (int k=(1<<len)-1;k>=0;k--)
if ( g[k] && !( k >> j & 1 ) && ( j == 0 || cur[j] != cur[j-1] || ( k >> (j-1) & 1 ) ) )
p[k|(1<<j)] = ( p[k|(1<<j)] + 1LL * g[k] * val % Mod ) % Mod;
}
memcpy( g , p , sizeof p );
}
if ( g[(1<<len)-1] )
{
f[x][S] = g[(1<<len)-1];
if ( lenth(S) == (m<<1) )
ans = ( ans + f[x][S] ) % Mod;
}
}
}
int main(void)
{
input();
for (int i=1;i<=m;i++)
Ergodic( i , 0 );
dp( 1 , 0 );
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
<后记>
