『概率和数学期望』

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<第一次更新>

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<正文>

概率#

基础概念#

定义

设样本空间为$\Omega$，若对于$\Omega$中的每一个随机事件$A$，都存在实值函数$P(A)$，满足：

$1.$ $P(A)\geq0$
$2.$ $P(\Omega)=1$
$3.$ 对于若干个两两互斥事件$A_1,A_2,...,A_n$，有$\sum_{i=1}^n P(A_i)=P(\bigcup_{i=1}^n A_i)$

则称$P(A)$为随机事件$A$发生的概率。

必然事件

一定发生的事件称为必然事件，也就是样本空间$\Omega$。

不可能事件

一定不发生的事件成为不可能事件，记为$\emptyset$。

事件包含

如果事件$A$发生必然导致事件$B$发生，则称事件$B$包含事件$A$，记为$A\subset B$或$B\supset A$。

事件的并

如果事件$A$和事件$B$至少有一个发生，则称这个事件为事件$A$与事件$B$的并，记为$A\cup B$

事件的交

如果事件$A$和事件$B$同时发生，则称这个事件为事件$A$与事件$B$的交，记为$A\cap B$

事件的差

如果事件$A$，发生而事件$B$不发生，则称该事件为事件$A$与事件$B$的差，记为$A-B$。

互斥事件

若事件$A$与事件$B$不能同时发生，即$A\cap B=\emptyset$，则称事件$A$与事件$B$为互斥事件。

对立事件

若事件$A$与事件$B$有且仅有一个必然发生，即$A\cup B=\Omega$，$A\cap B=\emptyset$，则称事件$A$与事件$B$为对立事件。事件$B$称为事件$A$的逆事件，记为$\overline A$，事件$A$也称为事件$B$的逆事件，记为$\overline B$。

进阶知识#

条件概率

设$A$，$B$为$\Omega$中的两个事件，且$P(A)>0$，则$P(A\cap B)/P(A)$为事件$A$发生的情况下事件事件$B$发生的概率，记为$P(B|A)$。

全概率公式

设样本空间为$\Omega$，事件$A_1,A_2,...,A_n$满足：

$1.$ 两两互斥
$2.$ $\sum_{i=1}^nP(A_i)=\Omega$
$3.$ $\forall\ i\in[1,n],P(A_i)>0$

则称$A_1,A_2,...,A_n$为$\Omega$的一个划分。

若$A_1,A_2,...,A_n$为样本空间$\Omega$的一个划分，$B$为样本空间中的一个随机试验，则有：

$$P(B)=\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)$$

证明：

$$P(B)=\sum_{i=1}^nP(B\cap A_i)=\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)$$

全概率公式的推论

设$\Omega$为样本空间，$A_1,A_2,...,A_n$为$\Omega$中互斥的$n$个事件，$B$为一个随机试验，且满足$\forall\ i\in[1,n],B\subset A_i$，则有：

$$P(B)=\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)$$

数学期望#

定义#

若随机变量$X$的取值有$x_1,x_2,...$，一个随机事件可以表示为$X=x_i$，其概率为$P(X=x_i)=p_i$，则称$E(X)=\sum x_ip_i$为随机变量$X$的数学期望。

简单地说，数学期望即为一个随机变量的取值与其概率的乘积之和。

性质#

数学期望是线性函数，满足$E(aX+bY)=a* E(X)+b*E(Y)$

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<后记>