『简单积性函数和dirichlet卷积』
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简单积性函数
在学习欧拉函数的时候,相信读者对积性函数的概念已经有了一定的了解。接下来,我们将相信介绍几种简单的积性函数,以备\(dirichlet\)卷积的运用。
定义
数论函数:在数论上,对于定义域为正整数,值域为复数的函数,我们称之为数论函数。
积性函数:对于数论函数\(f\),若满足\(gcd(a,b)=1\)时,有\(f(ab)=f(a)f(b)\),则称函数\(f\)为积性函数
简单积性函数
约数个数函数
约数和函数
元函数
恒等函数
单位函数
欧拉函数
\(Möbius\)函数
简单积性函数的求解
与经典的\(Möbius\)函数和欧拉函数同理,这些积性函数都是可以通过线性筛的过程顺带地求出来的,我们不再详细讨论,具体可以参见\(hezlik\)的博客。
dirichlet卷积
定义
\(dirichlet\)卷积是数论函数之间的一种运算,我们设有两个数论函数\(f\)和\(g\),它们的定义域为正整数\([1,n]\),那么它们的\(dirichlet\)卷积可以如下表示:
我们可以简单地用\(O(nlog_2n)\)的时间求出两个函数的\(dirichlet\)卷积,其时间复杂度可以使用调和级数证明。
\(Code:\)
inline void dirichlet(long long *a,long long *b)
{
long long res[N]={};
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j*i<=n;j++)
res[i*j] = (res[i*j] + a[i] * b[j] % Mod) % Mod ;
memcpy( a , res , sizeof res );
}
性质
\(1.\) 两个积性函数\(f\)和\(g\)的\(dirichlet\)卷积仍为积性函数。
证明:
设有两个积性函数\(f\)和\(g\),则它们的\(dirichlet\)卷积为:
对于函数\(h\)则可以得到:
故函数\(h\)为积性函数。
\(2.\) \(dirichlet\)卷积满足交换律。
证明:
设有数论函数\(f\)和\(g\),则有
\(3.\) \(dirichlet\)卷积满足结合律。
证明:
设有数论函数\(f\),\(g\)和\(h\),则有
\(4.\)\(dirichlet\)卷积满足分配律。
证明:
设有数论函数\(f\),\(g\)和\(h\),则有
简单卷积
\(1.\) \(f\times e=f\)
证明:
由上,我们证明了\(dirichlet\)卷积这种运算的单位元为原函数\(e\),我们可以进一步地定义出数论函数\(f\)的逆函数\(f^{-1}\),使得\(f\times f^{-1}\)成立,可以用如下方式构造:
\(2.\) \(e=\mu\times I\)
证明:
考虑\(Möbius\)函数的一个性质,对于质数\(p\)和整数\(a\)满足\(p\not|a\),有\(\mu(ap)+\mu(a)=0\),这是可以由\(Möbius\)函数的定义得到的,那么我们设\(n=\prod_{i=1}^kp_i^{a_i}\),则
事实上枚举了\(n\)的每一个约数,并对其的\(\mu\)函数值进行了求和。
设\(P=\{1,p_1,p_2,...,p_{k-1}\}\),由此可得:
由\(\mu\)函数的性质可知:
而\(n=1\)时\((\mu \times I)(1)=1\),所以有\(e=\mu\times I\)。
\(3.\) \(\phi=\mu\timesε\)
证明:
欧拉函数是可以用容斥原理算的,考虑到\(\mu\)函数的定义,发现\(\mu\)可以恰好可以作为欧拉函数的容斥系数,即有:
\(4.\) \(\sigma=I\times \epsilon\)
证明:
利用定义展开,得
\(5.\) \(\tau=I\times I\)
证明:
利用定义展开,得
简单运用
\(1.\) 欧拉函数具有性质:\(n=\sum_{d|n}\phi(\frac{n}{d})\)
证明:
\(2.\) 两次\(dirichlet\)卷积,可以得到:\(\sigma=\tau \times\phi\)
证明:
\(3.\) 可以推得\(Möbius\)定理:\(F(n)=\sum_{d|n}f(d)\Leftrightarrow f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})\)
证明:
已知\(F=I\times f\),试证明\(f=\mu\times F\),可以利用\(dirichlet\)卷积推导:
运用
多数时候,对于约数求和式和一些有关数论函数的运算都可以和\(dirichlet\)卷积搭上关系,相当于可以作为推导式子的一个有用工具,其关键在于熟悉定义及其运算,重要常见的几个卷积需要我们牢记。
<后记>