『基础同余和费马小定理』

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<正文>

同余#

同余是数论中一个重要的概念，若整数$a$与整数$b$除以正整数$m$的余数相等，则称$a$，$b$再模$m$意义下同余，记为$a\equiv b(mod\ m)$或$m|(a-b)$。

同余基础性质#

$1.$$a≡a (mod\ m)$，自反性

$2.$若$a≡b (mod\ m)$，则$b≡a (mod\ m)$，对称性

$3.$若$a≡b (mod\ m)$，$b≡c (mod\ m)$，则$a≡c (mod\ m)$，传递性

$4.$若$a≡b (mod\ m)$，$c≡d (mod\ m)$，则$a±c≡b±d (mod\ m)$，$ac≡bd (mod\ m)$ ，同加性，同乘性

$5.$若$n|m$，$a≡b (mod\ m)$，则$a≡b (mod\ n)$

$6.$若$(m,n)=1$，$a≡b (mod\ m)$，$a≡b (mod\ n)$，则$a≡b (mod\ mn)$

$7.$若$a≡b (mod\ m)$，$n∈N^*$，则$a^n≡b^n (mod\ m)$， 同幂性

$8.$若$ac≡bc (mod\ m)$，$(c,m)=d$，则$a≡b (mod\ \frac{m}{d} )$

这些基础性质在许多推导，证明等过程中都有作用，请读者务必牢记。

同余类和剩余系#

对于$\forall a\in[0,m-1]$，集合$\{a+km\}(k\in Z)$的所有数模$m$同余，余数都是$a$，称该集合为模$m$的一个同余类，记为$\overline{a}$。

显然，模$m$同余类有$m$个，分别为$\overline{1},\overline{2},...,\overline{m-1}$。它们构成$m$的完全剩余系，简称完系。

$1-m$中与$m$互质的数代表的剩余系共有$\phi(m)$个，它们构成$m$的化简剩余系，简称缩系。例如，模$10$的缩系为$\{\overline{1},\overline{3},\overline{7},\overline{9}\}$。

化简剩余系关于模$m$乘法封闭。对于任意的$a,b$与$m$互质，$a*b$与$m$显然也互质，则$a*b\ mod\ m$也与$m$互质，那么$a*b\ mod\ m$也是$m$化简剩余系中的一个同余类。

费马小定理#

费马小定理是有关同余的一个重要数论定理，其描述如下：

若$p$为质数，则对于任意整数$a$，有$a^p\equiv a(mod\ p)$。

我们将通过证明欧拉定理来进一步理解费马小定理。

欧拉定理#

若正整数$a,n$互质，则$a^{\phi(n)}\equiv 1(mod\ n)$，$\phi(n)$为欧拉函数。

证明：

设$n$的化简剩余系为$\{\overline{a_1},...,\overline{a_{\phi(n)}}\}$，对于$\forall \ a_i,a_j$，$a_i\not =a_j$时，$aa_i$，$aa_j$代表不同的同余类。

反证法，若$aa_i\equiv aa_j(mod\ n)$，则$a(a_i-a_j)\equiv 0(mod\ n)$，由于$gcd(a,n)=1$，所以$a_i-a_j\equiv 0(mod\ n)$，$a_i\equiv a_j(mod\ n)$，与$a_i\not =a_j$矛盾。

又因为化简剩余系满足乘法封闭，故$\{\overline{aa_1},...,\overline{aa_{\phi(n)}}\}$也能表示$n$的化简剩余系，所以：

$$a^{\phi(n)}a_1a_2...a_{\phi(n)}\equiv (aa_1)(aa_2)...(aa_{\phi(n)})\equiv a_1a_2...a_{\phi(n)}(mod\ n)$$

故$a^{\phi(n)}\equiv 1(mod\ n)$。

当$n$为质数时，$\phi(n)=n-1$，故费马小定理时欧拉定理的一个特殊情况。

欧拉定理的推论#

若正整数$a,n$互质，则对于任意的正整数$b$，有$a^b\equiv a^{b\ mod\ \phi(n)}(mod\ n)$。

证明：

设$b=q*\phi(x)+r$，$0 \leq r <\phi(n)$，于是有：

$$a^d \equiv a^{q*\phi(x)+r}\equiv (a^{\phi(n)})^{q}*a^r\equiv1^q*a^r\equiv a^r=a^{b\ mod\ \phi(n)}(mod\ n)$$

特别地，当$a,n$不一定互质但$b>\phi(n)$时，有$a^b\equiv a^{b\ mod\ \phi(n)+\phi(n)}(mod\ n)$，此处证明略。

威尔逊定理#

威尔逊定理也是数论中及其重要的一个定理，我们简单了解。

若$p$为质数，则$(p-1)!\equiv -1(mod\ p)$。

证明：

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<后记>