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『柱状图 三分法求极值 树状数组』

Parsnip·2019-04-09 21:48·362 次阅读

『柱状图 三分法求极值 树状数组』

<更新提示>

<第一次更新>

<正文>

柱状图#

Description#

WTH获得了一个柱状图,这个柱状图一共有N个柱子,最开始第i根柱子的高 度为xi,他现在要将这个柱状图排成一个屋顶的形状,屋顶的定义如下:

  1. 屋顶存在一个最高的柱子,假设为i,最终高度为hi.它是所有柱子之中最 高的.
  2. 第j根柱子的高度为hj=hi-|i-j|,但这个高度必须大于0,否则就是不合法的.

WTH可以对一个柱子做的操作只有将其高度加一或减一, WTH正忙着享受自 己的人赢生活于是他将把这个柱状图变成屋顶的任务交给了你.你需要求 出最少进行多少次操作才能够把这个柱状图变成一个屋顶形状.

Input Format#

第一行包含一个正整数 N(1 ≤ N≤ 100 000).
第二行包含 N 个用空格隔开的正整数,表示 xi,含义如题面。

Output Format#

输出最少进行多少个操作才能够把这个柱状图变成屋顶的形状。

Sample Input#

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5 
4 5 7 2 2

Sample Output#

Copy
4

解析#

先考虑一下暴力思路，首先，枚举最高柱子是哪个肯定是少不了的，这个需要一重循环来枚举。对于一个最高点，如果我们知道了这个最高点的高度，我们就能依次确定其他柱子的高度，从而确定代价，就能得到最小花费。

如果直接暴力枚举最高点的高度的话，时间复杂度就是O(n2max，可以得30分。

考虑一下这个函数模型的数学性质：设f(x)代表最高柱子高度为x时的调整所需花费。显然，当x取到一个恰当的值的时候，可以使得花费最小，当然，这样的值可能有很多个。但是不难发现只要任何一个其他的x'不能取得更优的值，就可以保证这是一个单谷函数(由于相邻的柱子高度差只能为1)。

那么就可以直接三分法枚举高度，暴力统计代价，时间复杂度O(n^2log_2n)，可以得到60分。

其实这就是正解的思路，不难发现这个算法枚举和三分是少不了的，所以瓶颈就在统计花费上，如果能够快速统计花费，就可以解决本题。

注意到如下两个性质：当最高点为i，高度为h_i时，经过调整后，\forall j<i╞\ h_i-i=h_j-j，\forall j>i╞\ h_i+i=h_j+j。

那么利用这两个性质，我们可以把这两个关键值存起来并排序。对于一个最高点为x，高度为h_x，我们利用二分查找找到关键值<=h_x-x的元素在如上数组中的最大下标为pos，那么最高点左边调整花费可以表示为

\left [ cnt_l*(h_x-x)-\sum_{i=1}^{pos}(h_i-i) \right ] + \left [ \sum_{i=pos+1}^{n}(h_i-i)-cnt_r*(h_x-x) \right ]$$，$cnt_l$代表关键值数组中关键值$<=h_x-x$且原下标小于$x$的元素的数量(**也就是说，下标不满足条件的元素我们是忽视的，$\sum$中也不参与计算**)，$cnt_r$代表关键值数组中关键值$>h_x-x$且原下标小于$x$的元素的数量。 不难发现，$cnt$和$\sum$都是可以表示为前缀和(部分和)结构的($cnt$即为每个符合要求的相同元素的出现次数的前缀和)，而对于新的最高点$x+1$的枚举，我们需要将相对原下标小于$x+1$的元素加入统计的范畴中，这样，涉及到插入和前缀和查询操作，我们可以用树状数组维护。 同理，对于最高点右边的调整花费，我们二分关键值$<=h_x+x$的元素在关键值数组中的最大下标$pos$，也用树状数组维护并统计即可。其计算式为$$\left [ cnt_l*(h_x+x)-\sum_{i=1}^{pos}(h_i+i) \right ] + \left [ \sum_{i=pos+1}^{n}(h_i+i)-cnt_r*(h_x+x) \right ]

当然，调整最高点的花费也是需要累加的。

总的来说，我们在三分求解时利用两个树状数组来维护最高点两边的关键值，然后利用树状数组的求前缀和功能计算花费即可。

Code:

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mset(name,val) memset(name,val,sizeof name)
#define lowbit(x) ( (x) & (-x) )
#define Make(a,b) make_pair(a,b)
const int N=100070,INF=1e9;
long long n,h[N],rankl[N],rankr[N];
long long ans;
//pair -
inline pair<long long,long long> reduce(pair<long long,long long> a,pair<long long,long long> b)
{
    return Make(a.first-b.first,a.second-b.second);
}
//一个点关键值及原下标
struct node
{
    long long val,pos;
    bool operator < (const node &t)const
    {
        return val < t.val;
    }
};
//树状数组
struct Binary_Indexed_Tree
{
    //两个值：元素出现次数的前缀和 元素值的前缀和
    long long s[N],cnt[N];
    //插入一个值
    inline void insert(long long pos,long long val,long long num)
    {
        for (;pos<=n;pos+=lowbit(pos))
            s[pos]+=val,cnt[pos]+=num;
    }
    //单点前缀和查询
    inline pair<long long,long long> query(long long pos)
    {
        pair<long long,long long> res=Make(0LL,0LL);
        for (;pos>=1;pos-=lowbit(pos))
            res.first+=s[pos],res.second+=cnt[pos];
        return res;
    }
    //区间部分和查询
    inline pair<long long,long long> secquery(long long l,long long r)
    {
        if (l>r)return Make(0LL,0LL);
        else return reduce( query(r) , query(l-1) );
    }
};
node l[N],r[N];
Binary_Indexed_Tree Left,Right;
//二分查找一个节点数组中关键值<=val元素的最大下标
inline long long find(node *p,long long val)
{
    long long l=1,r=n;
    while ( l+1 < r )
    {
        long long mid=(l+r)/2;
        if (p[mid].val>val)r=mid;
        else l=mid;
    }
    if (p[r].val<=val)return r;
    else if (p[l].val<=val)return l;
    else return 0;
}
//计算当第x根柱子作为最高柱且高度为height时，调整柱子高度所需的花费
inline long long calc(long long x,long long height)
{
    //调整最高柱子的初始花费
    long long res=abs(h[x]-height);
    //其他柱子关键值的前缀和查询，关键值临界点下标
    pair<long long,long long> cost;long long pos;

    //计算最高柱子左边的花费
    //找到小于等于关键值的最大下标
    pos=find(l,height-x);
    //查询前缀和
    cost=Left.query(pos); 
    //计算花费
    res += (height-x)*cost.second*1LL - cost.first;
    //查询右边的部分和
    cost=Left.secquery(pos+1,n);
    //计算花费
    res += cost.first - (height-x)*cost.second*1LL;

    //同理，计算最高柱子右边的花费
    pos=find(r,height+x);
    cost=Right.query(pos);
    res += (height+x)*cost.second*1LL - cost.first;
    cost=Right.secquery(pos+1,n);
    res += cost.first - (height+x)*cost.second*1LL;
    return res;
}
inline void input(void)
{
    scanf("%lld",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld",&h[i]);
}
inline void init(void)
{
    //建立l，r两个储存关键值的数组
    for (int i=1;i<=n;i++)
        l[i]=(node){h[i]-i,i},r[i]=(node){h[i]+i,i};
    //按照关键值排序
    sort(l+1,l+n+1);
    sort(r+1,r+n+1);
    ans=LONG_LONG_MAX;
    //键入原下标，得到排序后的排名(排序后的新下标)
    for (int i=1;i<=n;i++)
        rankl[ l[i].pos ] = i , rankr[ r[i].pos ] = i;
}
inline void solve(void)
{
    //先将所有柱子加入右树状数组中
    for (int i=1;i<=n;i++)
        Right.insert( rankr[i] , r[ rankr[i] ].val , 1 );
    //枚举最高柱子
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        //先将自己删除
        Right.insert( rankr[i] , -r[ rankr[i] ].val , -1 );
        //三分高度
        long long lbound=max(i*1LL,(n-i+1)*1LL),ubound=INF;
        while ( lbound+1 < ubound ) 
        {
            long long mid=(lbound+ubound)/2;
            long long lmid=mid-1,rmid=mid;
            long long lcost=calc(i,lmid),rcost=calc(i,rmid);
            //找单谷函数极小值点
            if (lcost>=rcost)lbound=mid;
            else ubound=mid;
        }
        //避免误差，左右边界相邻并退出循环时，利用左右端点分别更新一次答案
        ans = min(ans,calc(i,lbound));
        ans = min(ans,calc(i,ubound));
        //将这个处理好的点压入左边的树状数组中
        Left.insert( rankl[i] , l[ rankl[i] ].val , 1 );
    }
}
int main(void)
{
    freopen("column.in","r",stdin);
    freopen("column.out","w",stdout);
    input();
    init();
    solve();
    printf("%lld\n",ans);
    return 0; 
}

<后记>
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