『选课 有树形依赖的背包问题』

『选课 有树形依赖的背包问题』

<更新提示>

<第一次更新>

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<正文>

选课(tyvj 1051)#

Description#

学校实行学分制。每门的必修课都有固定的学分，同时还必须获得相应的选修课程学分。学校开设了N（N < 300）门的选修课程，每个学生可选课程的数量M是给定的。学生选修了这M门课并考核通过就能获得相应的学分。

在选修课程中，有些课程可以直接选修，有些课程需要一定的基础知识，必须在选了其它的一些课程的基础上才能选修。例如《Frontpage》必须在选修了《Windows操作基础》之后才能选修。我们称《Windows操作基础》是《Frontpage》的先修课。每门课的直接先修课最多只有一门。两门课也可能存在相同的先修课。每门课都有一个课号，依次为1，2，3，…。
你的任务是为自己确定一个选课方案，使得你能得到的学分最多，并且必须满足先修课优先的原则。假定课程之间不存在时间上的冲突。

Input Format#

输入文件的第一行包括两个整数N、M（中间用一个空格隔开）其中1≤N≤300,1≤M≤N。

以下N行每行代表一门课。课号依次为1，2，…，N。每行有两个数（用一个空格隔开），第一个数为这门课先修课的课号（若不存在先修课则该项为0），第二个数为这门课的学分。学分是不超过10的正整数。

Output Format#

输出文件只有一个数,实际所选课程的学分总数。

Sample Input#

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7 4
2 2
0 1
0 4
2 1
7 1
7 6
2 2

Sample Output#

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13

解析#

由题意可得，课程与课程之间的先修关系构成了一棵树，在最优化问题中，我们通常是用树形$DP$来求解的。那么我们可以先尝试树形$DP$的方法:设$f[i][j]$代表以$i$为根的子树中选了$j$门课程的最大学分数。显然，这个状态的转移在每颗子树中都可以选取若干门课程，那么，我们首先可以得出如下的状态转移方程:

$$f[i][j]=\max_{\sum^{|son(i)|}_{k=1}c_k=j-1}\{\sum^{|son(i)|}_{k=1}f[son_k][c_k]\}+score[i]$$

其中$|son(i)|$代表$i$的子节点个数，$son_k$代表其中某个子节点的编号，$c_k$则代表对于每一颗子树选取的课程门数，需满足:$\sum_{k=1}^{|son(i)|}c_k=j-1$。
事实上，这是一个分组背包模型:$j-1$即为背包体积，每一个$son_k$即为一组物品，每组组物品分别有$j-1$个，每一个体积分别为$c_k$，价值为$f[son_k][c_k]$，而每组物品我们只能从中选取至多一个，使得总价值最大。
那么对于每一颗子树，我们就可以用分组背包的方程来转移了。

$$f[i][j]=\max\{f[i][t-j]+f[son][j]\}$$

注意一个细节，没有先修课的课程，在输入中我们认为它的先修课是一个虚拟课程$0$，那么在$i=0$时，背包的体积为$j$，不需要为该门课程本身留下一个位置，所以我们可以将带有这门课程本身的状态额外的转移一次。

$Code:$

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=300+30,M=300+30;
int n,m,f[N][M],score[N]; 
vector < int >Link[N];
inline void input(void)
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		Link[u].push_back(i);
		score[i]=v;
	}
}
inline void dp(int root)
{
	f[root][0]=0;
	for(int i=0;i<Link[root].size();i++)
	{
		int Son=Link[root][i];
		dp(Son);
		for(int v=m;v>0;v--)
		{
			for(int j=1;j<=v;j++)
			{
				f[root][v]=max(f[root][v],f[Son][j]+f[root][v-j]);
			}
		}
	}
	if(root!=0)
		for(int v=m;v>0;v--)
			f[root][v]=f[root][v-1]+score[root];
}
int main(void)
{
	freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);
	input();
	dp(0);
	printf("%d\n",f[0][m]);
}

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<后记>