『宝藏 状态压缩DP NOIP2017』

<更新提示>

<第一次更新>

---

<正文>

宝藏(NOIP2017)#

Description#

参与考古挖掘的小明得到了一份藏宝图，藏宝图上标出了 n 个深埋在地下的宝藏屋， 也给出了这 n 个宝藏屋之间可供开发的m 条道路和它们的长度。

小明决心亲自前往挖掘所有宝藏屋中的宝藏。但是，每个宝藏屋距离地面都很远， 也就是说，从地面打通一条到某个宝藏屋的道路是很困难的，而开发宝藏屋之间的道路 则相对容易很多。

小明的决心感动了考古挖掘的赞助商，赞助商决定免费赞助他打通一条从地面到某 个宝藏屋的通道，通往哪个宝藏屋则由小明来决定。

在此基础上，小明还需要考虑如何开凿宝藏屋之间的道路。已经开凿出的道路可以 任意通行不消耗代价。每开凿出一条新道路，小明就会与考古队一起挖掘出由该条道路 所能到达的宝藏屋的宝藏。另外，小明不想开发无用道路，即两个已经被挖掘过的宝藏 屋之间的道路无需再开发。

新开发一条道路的代价是：

$$L×K$$

L代表这条道路的长度，K代表从赞助商帮你打通的宝藏屋到这条道路起点的宝藏屋所经过的 宝藏屋的数量（包括赞助商帮你打通的宝藏屋和这条道路起点的宝藏屋） 。

请你编写程序为小明选定由赞助商打通的宝藏屋和之后开凿的道路，使得工程总代 价最小，并输出这个最小值。

Input Format#

第一行两个用空格分离的正整数 n,m，代表宝藏屋的个数和道路数。

接下来 m 行，每行三个用空格分离的正整数，分别是由一条道路连接的两个宝藏 屋的编号（编号为 1−n），和这条道路的长度 v。

Output Format#

一个正整数，表示最小的总代价。

Sample Input#

Copy
4 5 
1 2 1 
1 3 3 
1 4 1 
2 3 4 
3 4 1 

Sample Output#

Copy
4

解析#

简单概括题意：给出一副无向图,每条边都有一个权值且均未开通,先可以随便取一个起点,要开通一些边,使它成为一个连通图,开通一条边的代价为这条边的权值*起点到它的点的个数(起点也算),求最小代价。
数据范围$N<=12$，基本上可以确定是状压$DP$了。我们直接最简单地设置状态:$f[S]$代表以及取的节点的状态为S的最小代价，那么目标状态就是$f[(1<<n)-1]$。
如果考虑递推求解的话，我们发现需要计算花费的深度会很难枚举，这就导致了$DP$顺序的问题，如果选择用记忆化搜索求解的话，会方便很多。

由于起点不是确定的，我们需要用一重循环来枚举起点，然后以$1<<(root-1)$为初始状态，对每一种情况进行一次记忆化搜索，记搜的大体思路如下：

1.对于状态$S$，枚举一个点$i$，满足$i \in S$
2.在枚举一个点$j$，满足$i,j$有边相连且$j \notin S$
3.状态转移方程:$f[S']=min{f[S]+depth[i]*dis[i][j]}$
4.更新新加入的节点j的深度
5.搜索下一个状态$S'$
6.回溯还原节点j的深度

最后在每一种情况的目标状态中取个$min$就是最终的答案了，时间复杂度$O(n^32^n)$。

$Code:$

Copy
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=15,M=10015,Smax=(1<<N)+20,INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,dis[N][N],f[Smax],depth[N],ans=INF;
inline void input(void)
{
	memset(dis,0x3f,sizeof dis);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u,v,val;
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&val);
		dis[u][v]=dis[v][u]=min(dis[u][v],val);
	}
}
inline void Search(int S)
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if((1<<(i-1))&S)
		{
			for(int j=1;j<=n;j++)
			{
				if(not ((1<<(j-1))&S)&&(dis[i][j]<INF))
				{
					if(f[S|(1<<(j-1))]>f[S]+depth[i]*dis[i][j])
					{
						int temp=depth[j];
						depth[j]=depth[i]+1;
						f[S|(1<<(j-1))]=f[S]+depth[i]*dis[i][j];
						Search(S|(1<<(j-1)));
						depth[j]=temp;
					}					
				}
			}
		}
	}
}
inline void solve(void)
{
	for(int root=1;root<=n;root++)
	{
		memset(f,0x3f,sizeof f);
		memset(depth,0x3f,sizeof depth);
		f[1<<(root-1)]=0;
		depth[root]=1;
		Search(1<<(root-1));
		ans=min(ans,f[(1<<n)-1]);
	}
}
int main(void)
{
	input();
	solve();
	printf("%d\n",ans);
}

---

<后记>