『扩展欧几里得算法 Extended Euclid』

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<正文>

Euclid算法(gcd)#

在学习扩展欧几里得算法之前，当然要复习一下欧几里得算法啦。
众所周知，欧几里得算法又称gcd算法，辗转相除法，可以在 $O(log_2b)$ 时间内求解 $(a,b)$ (a，b的最大公约数)。
其核心内容可以陈述为: $(a,b)=(b,a\%b)$ ，然后反复迭代该式缩小 $a,b$ 规模，直到 $b=0$ ，得到a为最大公约数。

证明#

设两数为 $a\ b(b<a)$ ，求它们最大公约数的步骤如下：用 $b$ 除 $a$ ，即 $a/b=q…..r$ ，得 $a＝bq＋r(0≤r<b)$ ，即为余数， $q$ 是这个除法的商)。若 $r=0$ ，则 $b$ 是 $a$ 和 $b$ 的最大公约数， $a$ ， $b$ 存在倍数关系。若 $r≠0$ ,则继续考虑。

首先，应该明白的一点是任何 $a$ 和 $b$ 的公约数都是 $r$ 的公约数。要想证明这一点，就要考虑把 $r$ 写成 $r=a-bq$ 。现在，如果 $a$ 和 $b$ 有一个公约数 $d$ ，而且设 $a=sd , b=td$ ，那么 $r = sd-tdq = (s-tq)d$ 。因为这个式子中，所有的数(包括 $s-tq$ )都为整数，所以 $r$ 可以被 $d$ 整除。

对于所有的 $d$ 的值，这都是正确的。所以 $a$ 和 $b$ 的最大公约数也是 $b$ (因为 $b< a$ ，所有取b继续运算才能不断缩小规模，直至两数有倍数关系) 和 $r$ 的最大公约数。因此我们可以继续对 $b$ 和 $r$ 进行上述取余的运算。这个过程在有限的重复后，可以最终得到 $r=0$ 的结果，我们也就得到了 $a$ 和 $b$ 的最大公约数

实现#

$Code:$

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inline int Euclid(int a,int b){return b==0?a:Eucild(b,a%b);}

Extended Euclid算法(exgcd)#

那么接下来就是扩展欧几里得啦。
正如其名，扩展欧几里得算法就是基于欧几里得算法的扩展运用。该算法用于解决一下模型的问题：

求解关于 $x,y$ 的二元不定方程 $ax+by=c$ 的整数解

在讲解算法之前，需要先了解该算法的核心，即裴蜀定理：

对任何整数 $a,b$ ，关于未知数x和y的线性丢番图方程(称为裴蜀等式): $ax+by=c$ ，方程有整数解当且仅当 $c$ 是 $(a,b)$ 的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个解。

证明#

1.必要性证明：如果有整数解,则 $c$ 是 $p$ 的倍数
令 $p=(a,b)$ ，设 $a=a'p$ ， $b=b'p$ ，则有 $(a',b')=1$ 成立。那么

$ax+by=c \\⇒a'px+b'py=c \\⇒p(a'x+b'y)=c$

那么 $c$ 就是 $p$ 的一个因数，所以 $p|c$ 得证。

2.充分性证明：如果 $c$ 是 $p$ 的倍数,则 $ax+by=c$ 有整数解
令 $p=(a,b)$ ，记欧几里得算法中每一次辗转得到的数对为 $(a_1,b_1),(a_2,b_2),...,(a_n,b_n)$ ，其中， $(a_1,b_1)$ 即为 $(a,b)$ ， $(a_n,b_n)$ 即为 $(p,0)$ ，符合辗转相除法的流程。
对于 $(a_n,b_n)$ ，求方程 $a_nx+b_ny=c$ 的解，由于 $a_n=p,b_n=0$ ，我们可以构造一组解：

$\begin{cases} x_n=\frac{c}{p} \\∀y_n\in Z \end{cases}$

适用于 $(a_n,b_n)$ ，且 $(x_n,y_n)$ 一定为整数(因为 $p|c$ ， $y_n$ 取任意整数)。

至此，数学归纳法的底基证明完毕。

由于辗转相除法，我们可以得知

$a_n=b_{n-1}\ ① \\b_n=a_{n-1}\%b_{n-1} \\⇒b_n=a_{n-1}-\lfloor a_{n-1}/b_{n-1}\rfloor b_{n-1}\ ②$

我们刚才已经推得： $a_nx+b_ny=c$ 的一组整数解 $(x_n,y_n)$ ，那么可以把 $①②$ 两式代入 $a_nx+b_ny=c$ 得：

$(b_{n-1})x+(a_{n-1}-\lfloor a_{n-1}/b_{n-1}\rfloor b_{n-1})y=c$

且对于该方程，解 $(x_n,y_n)$ 仍适用，即：

$(b_{n-1})x_n+(a_{n-1}-\lfloor a_{n-1}/b_{n-1}\rfloor b_{n-1})y_n=c$

成立，可以进行推导：

$(b_{n-1})x_n+(a_{n-1}-\lfloor a_{n-1}/b_{n-1}\rfloor b_{n-1})y_n=c \\⇒b_{n-1}x_n+a_{n-1}y_n-\lfloor a_{n-1}/b_{n-1}\rfloor b_{n-1} y_n=c \\⇒a_{n-1}y_n+b_{n-1}(x_n-\lfloor a_{n-1}/b_{n-1}\rfloor y_n)=c\ ③$

注意到两项的系数分别为 $a_{n-1},b_{n-1}$ ，所以对于方程 $a_{n-1}x+b_{n-1}y=c$ ，通过③式可以直接得到一组解：

$\begin{cases} x_{n-1}=y_n \\y_{n-1}=x_n-\lfloor a_{n-1}/b_{n-1}\rfloor y_n \end{cases}$

由此，我们利用辗转相除法的关系，通过方程 $a_nx+b_ny=c$ 的一组解 $(x_n,y_n)$ ，推得了方程 $a_{n-1}x+b_{n-1}y=c$ 的一组解 $(x_{n-1},y_{n-1})$ 。
同样地，我们可以由 $(x_i,y_i)$ 的一组解，得到方程 $a_{i-1}x+b_{i-1}y=c$ 的一组解 $(x_{i-1},y_{i-1})$

$\begin{cases} x_{i-1}=y_i \\y_{i-1}=x_i-\lfloor a_{i-1}/b_{i-1}\rfloor y_i \end{cases}$

由上，数学归纳法完成证明：如果我们得知 $a_nx+b_ny=c$ 的一组解 $(x_n,y_n)$ ，且 $(a_1,b_1),(a_2,b_2),...,(a_n,b_n)$ 是由辗转相除法得到的序列，那么我们就可以通过以上方法得到原方程 $a_1x+b_1y=c$ 的解 $(x_1,y_1)$ 。

然而，我们已经通过构造法得到 $a_nx+b_ny=c$ 的一组解 $(x_n,y_n)$ ，且保证c是p的倍数时，整数解 $(x_n,y_n)$ 一定存在。故c是p的倍数时，方程 $ax+by=c$ 一定有整数解。充分性得证。

实现#

回归正题，看扩展欧几里得算法。
千万不要想着不看证明咯。裴蜀定理的充分性证明过程就是扩展欧几里得算法的流程。
先由辗转相除法求解 $(a,b)$ ，得到 $p=(a,b)$
同时，构造解 $(x_n,y_n)$

$\begin{cases} x_n=\frac{c}{p} \\∀y_n\in Z \end{cases}$

在递归的回溯过程中，利用公式：

$\begin{cases} x_{i-1}=y_i \\y_{i-1}=x_i-\lfloor a_{i-1}/b_{i-1}\rfloor y_i \end{cases}$

倒推每一组 $(a_i,b_i)$ 的解 $(x_i,y_i)$ 。
最后得到 $(a,b)$ 和原方程 $ax+by=c$ 的一组解 $(x,y)$ 。
至此，扩展欧几里得算法完成。

$Code:$

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int Extended_Euclid(int a,int &x,int b,int &y,int c)
{
	if(b==0){x=c/a,y=0;return a;}
	else
	{
		int p=Extended_Euclid(b,x,a%b,y,c);
		int x_=x,y_=y;
		x=y_; y=x_-a/b*y_; 
		return p;
	}
}
int main(void)
{
	int a,b,c;
	scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
	int p,x,y;
	p=Extended_Euclid(a,x,b,y,c);
	printf("(%d,%d)=%d\n",a,b,p);
	printf("x=%d,y=%d\n",x,y);
}