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随笔分类 - 数论
数论续篇
基础数论
摘要：取模与异或 Description 求 (n mod 1)⊕(n mod 2)⊕⋯⊕(n mod n)。 n\leq 10^{11}。 Input Format 一行，一个正整数n。 Output Format 一行，一个正整数表示
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摘要：简单数论 质因子分解 素性测试 素性测试指的是对一个正整数是否为质数的判定，一般来说，素性测试有两种算法： 1. 试除法，直接尝试枚举因子，时间复杂度O(\sqrt n)。 2. Miller Rabin算法，利用费马小定理和二次探测定理对素数进行测试，有小概率误判，时间复杂度$O(
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摘要：Lucas定理 在 "『组合数学基础』" 中，我们已经提出了Lucas定理，并给出了Lucas定理的证明，本文仅将简单回顾，并给出代码。 Lucas定理：当p为质数时，$C_n^m\equiv C_{n\ mod\ p}^{m\ mod\ p} C_{n/p}^{m/p}(mod\
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摘要：简单积性函数 在学习欧拉函数的时候，相信读者对积性函数的概念已经有了一定的了解。接下来，我们将相信介绍几种简单的积性函数，以备dirichlet卷积的运用。 定义 数论函数：在数论上，对于定义域为正整数，值域为复数的函数，我们称之为数论函数。 积性函数：对于数论函数f，若满足$gcd(a,b
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摘要：Zap Description FGD正在破解一段密码，他需要回答很多类似的问题：对于给定的整数a,b和d，有多少正整数对x,y，满足x using namespace std; const int N=60020,Uplim=5e4; int a,b,k,vis[N],Prime[N],mui[N
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摘要：余数之和 Description 给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值 其中k mod i表示k除以i的余数。 例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 +
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摘要：Möbius函数 定义 设正整数n算数基本定理分解后为n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{a_i}，定义函数 $$ \mu(n)= \begin{cases} 0\ \ (\exists\ i\in[1,k],a_i 1) \\( 1)^k\ \ (\forall\ i\in[1,k
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摘要：乘法逆元 我们知道，由于同余的运算只定义在整数集中，而整数集不满足除法封闭，所以同余是不满足同除性的。但是，如果有涉及取模操作的计数类题目当中需要除法运算怎么办，这就需要乘法逆元了。 定义 若整数b,m互质，且b|a，则存在一个整数x，满足$\frac{a}{b}\equiv ax(mo
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摘要：扩展欧几里得算法 顾名思义，扩欧就是扩展欧几里得算法，那么我们先来简单地回顾一下这个经典数论算法。 对于形如ax+by=c的不定方程，扩展欧几里得算法可以在O(log_2a+log_2b)的时间内找到该方程的一组特解，或辅助gcd判断该方程无解。 对于扩欧的详细讲解，可见 "『扩展欧几里
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摘要：同余 同余是数论中一个重要的概念，若整数a与整数b除以正整数m的余数相等，则称a，b再模m意义下同余，记为a\equiv b(mod\ m)或m|(a b)。 同余基础性质 1.a≡a (mod\ m)，自反性 2.若a≡b (mod\ m)，则$b≡
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摘要：高次同余方程 一般来说，高次同余方程分a^x \equiv b(mod\ p)和x^a \equiv b(mod\ p)两种，其中后者的难度较大，本片博客仅将介绍第一类方程的解决方法。 给定a,b,p，其中gcd(a,p)=1，求方程a^x \equiv b(mod\ p)的最小
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摘要：更新了Ex CRT的内容 线性同余方程 定义 给定整数a,b,m，对于形如ax\equiv b(mod\ m)的同余方程我们称之为一次同余方程，即线性同余方程。 解线性同余方程 对于此类方程，我们可以用如下方法快速的求解。 ax\equiv b(mod\ m)⇔m|ax b
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摘要：欧拉函数 定义 \forall\ a,b\in N，若gcd(a,b)=1，则称a，b互质。 对于一个正整数n，我们将1 n中与n互质的数的个数称为欧拉函数，记为\phi(n)。 求解 若在算数基本定理中，有$n=p_1^{a_1} p_2^{a_2} ... p_k
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摘要：火车进出栈问题 Description 一列火车n节车厢，依次编号为1,2,3,…,n。每节车厢有两种运动方式，进栈与出栈，问n节车厢出栈的可能排列方式有多少种。 Input Format 一个数，n(n代码片段:将!n分解质因数 Code: cpp //prime[i]存了1 n范围内的所
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摘要：素数(Prime)及判定 定义 素数又称质数，一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数叫做质数，否则称为合数。 1既不是素数也不是合数。 判定 如何判定一个数是否是素数呢？显然，我们可以枚举这个数的因数，如果存在除了它本身和1以外的因数，那么这个数就是素数。 在枚举时，有一个很简
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摘要：Euclid算法(gcd) 在学习扩展欧几里得算法之前，当然要复习一下欧几里得算法啦。 众所周知，欧几里得算法又称gcd算法，辗转相除法，可以在O(log_2b)时间内求解(a,b)(a，b的最大公约数)。 其核心内容可以陈述为:(a,b)=(b,a\%b)，然后反复迭代该式缩小$a,b
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