网络流24题(十七)

网络流24题(十七)

十七、运输问题

题目描述

W 公司有 m 个仓库和 n 个零售商店。第 i 个仓库有 \(a_i\)​ 个单位的货物；第 j 个零售商店需要 \(b_j\) 个单位的货物。

货物供需平衡，即\(\sum\limits_{i=1}^{m}a_i=\sum\limits_{j=1}^{n}b_j\)​。

从第 i 个仓库运送每单位货物到第 j 个零售商店的费用为 \(c_{ij}\)​​​ 。

试设计一个将仓库中所有货物运送到零售商店的运输方案，使总运输费用最少。

输入格式

第 1 行有 2 个正整数 m 和 n，分别表示仓库数和零售商店数。

接下来的一行中有 m 个正整数 \(a_i\)​，表示第 i 个仓库有 \(a_i\)​个单位的货物。

再接下来的一行中有 n 个正整数 \(b_j\)​，表示第 j 个零售商店需要 \(b_j\) 个单位的货物。

接下来的 m 行，每行有 n 个整数，表示从第 i 个仓库运送每单位货物到第 j 个零售商店的费用 \(c_{ij}\)。

输出格式

两行分别输出最小运输费用和最大运输费用。

题解

模型

裸的二分图费用流，极其简单

建图

把所有仓库看做二分图中顶点\(X_i\)，所有零售商店看做二分图中顶点\(Y_i\)，建立附加源S汇T。

1. 从S向每个\(X_i\)连一条容量为仓库中货物数量\(a_i\)，费用为0的有向边。
2. 从每个\(Y_i\)向T连一条容量为商店所需货物数量\(b_i\)，费用为0的有向边。
3. 从每个\(X_i\)向每个\(Y_j\)连接一条容量为无穷大，费用为\(c_{ij}\)的有向边。

求最小费用最大流，最小费用流值就是最少运费，求最大费用最大流，最大费用流值就是最多运费。

代码

#include <iostream>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <cstring>
using namespace std;
#define ll long long
const ll inf = 0x3f3f3f3f;
const int N = 5000,M = 5e4+50;
ll head[N],cnt = 1;
struct Edge{
    ll to,w,cost,nxt;
}edge[M*2];
void add(ll u,ll v,ll w,ll c){
    edge[++cnt] = {v,w,c,head[u]};
    head[u] = cnt;
}
void add2(ll u,ll v,ll w,ll cost){
    add(u,v,w,cost);
    add(v,u,0,-cost);
}
ll s,t,dis[N],cur[N];
bool inq[N],vis[N];
queue<ll>Q;
bool spfa(){
    while(!Q.empty()) Q.pop();
    copy(head,head+N,cur);
    fill(dis,dis+N,inf);
    dis[s] = 0;
    Q.push(s);
    while(!Q.empty()){
        ll p = Q.front();
        Q.pop();
        inq[p] = false;
        for(ll e = head[p];e;e = edge[e].nxt){
            ll to = edge[e].to,vol = edge[e].w;
            if(vol > 0 && dis[to]>dis[p]+edge[e].cost){
                dis[to] = dis[p] + edge[e].cost;
                if(!inq[to]){
                    Q.push(to);
                    inq[to] = true;
                }
            }
        }
    }
    return dis[t] != inf;
}
ll dfs(ll p = s,ll flow = inf){
    if(p == t) return flow;
    vis[p] = true;
    ll rmn = flow;
    for(ll eg = cur[p];eg && rmn;eg = edge[eg].nxt){
        cur[p] = eg;
        ll to = edge[eg].to,vol = edge[eg].w;
        if(vol > 0 && !vis[to]&&dis[to] == dis[p]+edge[eg].cost){
            ll c = dfs(to,min(vol,rmn));
            rmn -= c;
            edge[eg].w -= c;
            edge[eg^1].w += c;
        }
    }
    vis[p] = false;
    return flow-rmn;
}
ll maxflow,mincost;
void dinic(){
    maxflow = 0,mincost = 0;
    while(spfa()){
        ll flow = dfs();
        maxflow += flow;
        mincost += dis[t]*flow;
    }
}
ll n,m;
ll a[N],b[N],c[N][N];
void init1(){
    for(ll i = 1;i <= m;i++)add2(s,i,a[i],0);
    for(ll i = 1;i <= n;i++)add2(i+m,t,b[i],0);
    for(ll i = 1;i <= m;i++){
        for(ll j = 1;j <= n;j++){
            add2(i,j+m,inf,c[i][j]);
        }
    }
    dinic();
    cout<<mincost<<endl;
}
void init2(){
    memset(head,0, sizeof head);
    cnt = 1;
    for(ll i = 1;i <= m;i++)add2(s,i,a[i],0);
    for(ll i = 1;i <= n;i++)add2(i+m,t,b[i],0);
    for(ll i = 1;i <= m;i++){
        for(ll j = 1;j <= n;j++){
            add2(i,j+m,inf,-c[i][j]);
        }
    }
    dinic();
    cout<<-mincost<<endl;
}
int main(){
    //ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>m>>n;
    s = 0,t = n+m+1;
    for(ll i = 1;i <= m;i++)cin>>a[i];
    for(ll j = 1;j <= n;j++)cin>>b[j];
    for(ll i = 1;i <= m;i++){
        for(ll j = 1;j <= n;j++){
            cin>>c[i][j];
        }
    }
    init1();
    init2();
    return 0;
}