组合数学（2）——盒子与球

组合数学（球和盒子）

将球是否相同，盒子是否相同，是否可以有空盒分为八种情况。
将球设为\(n\)个，盒子设为\(m\)个（有空盒指的是可以有空盒）。

1.球相同，盒子不同，无空盒

挡板法，相当于将\(n\)个球分成\(m\)组，相当于在\(n-1\)中插入\(m-1\)块板子。
结论是：\(C_{n-1}^{m-1}\)

2.球相同，盒子不同，有空盒

在每个盒子里面先放\(1\)个球，一共\(m\)个球，现在就等价于（1）的这个问题。
结论是：\(C_{n+m-1}^{m-1}\)

3.球相同，盒子相同，有空盒

假设\(f[n][m]\)为\(n\)个球放到\(m\)个盒子里的方案数。

如果\(n<m\)，此时\(m\)个盒子必然装不满，\(可得f[n][m] = f[n][n]。\)

如果\(n>=m\)，此时可以选择将盒子放满或者盒子不放满。
\(~~~~~(1)\)如果没放满，那就减掉一个盒子，此时为\(f[i][j-1]\)。
\(~~~~~(2)\)如果放满了，那就在每个盒子上里放一个球。现在就是\(f[i-j][j]\)。
\(f[i][j] = f[i][j-1]+f[i-j][j]\)。
得到转移方程之后考虑边界条件。

如果没有球或者只有一个盒子，此时方案数为1，即\(f[0][j] = f[i][1] = 1\)。

for(ll i = 0;i <= n;i++){
  for(ll j = 1;j <= m;j++){
      if(j ==  1|| i == 0)f[i][j] = 1;
      else if(i < j) f[i][j] = f[i][i];
      else if(i >= j) f[i][j] = f[i-j][j]+f[i][j-1];
  }
}

4.球相同，盒子相同，无空盒

类比上面问题3的情况，我们发现答案就是\(f[n-m][m]\)的值。

5.球不同，盒子不同，有空盒

对于每一个球，我们可以放在任意一个位置，也就是说每一个球都有\(m\)种取法。
故一共有\(m^n\)种方案数。

6.球不同，盒子相同，无空盒

这个问题需要拓展第二类斯特林数。
将\(S_2(n,m)\)读作关于\(n,m\)的第二类斯特林数。
两种求法：
递推：
\(S_2(n,m) = S_2(n-1,m-1)+mS_2(n-1,m)\)
单独看第一个球，如果第一个球独立存在于一个盒子里面。那么就是\(S_2(n-1,m-1)\)。
如果不是如此，那么就是把这个球放在任意的盒子里面。也就是在\(S_2(n-1,m)\)的情况下，找一个盒子塞进去一个球，因为有\(m\)个盒子所以就乘\(m\)。
容斥：
\(S_2(n,m)=\frac{1}{m!}∑_{k=0}^{m}(−1)^kC_m^k(m−k)^n\)
（说实话可能需要用到多项式的知识，所以完全不会）

联系问题5，问题6还可以得到一个性质
\(n^k = ∑_{i=0}^{k}S_2(k,i)*i!*C_n^i\)
什么意思呢？
左边指的是，\(k\)个球任意的放在\(i\)个盒子里(5)
右边，我们枚举有多少个非空的盒子数\(i\)（盒子不同，乘上\(i!\)），再乘上我们选盒子的方案数。

S[0][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
  for(int j=1;j<=i;j++){
    S[i][j]=S[i-1][j-1]+j*S[i-1][j];
  }
}

7.球不同，盒子不同，无空盒

与上面问题6基本相同，只需要乘\(m!\)即可
\(m!*S_2(n,m)\)

8.球不同，盒子相同，有空盒

也是对6的拓展，只需要枚举非空盒子的对应的方案数量即可 。
\(\sum_{i=1}^{m}S_2(n,i)\)

对于这个问题我们再引入一个数列——贝尔数
贝尔数\(B_n\)更常见的定义为，将\(n\)个数的集合所有的划分方式，你可以认为这是问题8在盒子数与球数相同时的解。
它有一个递推公式：
\(B_{n+1} = \sum_{k=0}^nC_n^kB_k\)
证明：
假设，\(B_{n+1}\)是含有\(n+1\)个元素集合的划分个数。
先单独拿出一个一个元素。
这个元素分为一类，剩下\(n\)个元素，有\(C_n^nB_n\)
这个元素和某1个单独元素分成一类，\(C_n^{n-1}B_n\)
这个元素和某2个单独元素分成一类，\(C_n^{n-2}B_n\)
求和可得。

在关注问题8和贝尔数就可以得到贝尔数和第二类斯特林数的关系。
\(B_n = \sum_{k=0}^nS_2(n,k)\)

以上就是盒子和小球小小的总结。