牛客挑战赛50B
Random eat Cake
对于一个数n，可以拆分成若干序列
例如:
当\(n=3\)，可以生成序列\({\{1,1,1\},\{1,2\},\{2,1\},\{3\}}\)，每种序列生成的概率为\(\frac{1}{4}\)。
每一个出现的数x会贡献\(\frac{1}{x!}\)
求期望。
这个题好像是湖南文理学院的金牌爷出的。爷是猛，但似乎 这题解写的确实有点...
先通过挡板法得到,n块序列的数量。
我的想法是:
该问题等价于:
\(x_1+x_2+...+x_k = n (1<=k<=n)\)的正整数解的个数。
对于每一个k的解可以用挡板法在\(n-1\)个空插入k个挡板即\(\tbinom{n-1}{k}\)
最终答案就是:
\(\sum_{k=1}^{n-1}\tbinom{n-1}{k}\)
也就是\(2^{n-1}\)中方案。
我们将其定义为 g(0)。
现在计算每一个数X出现的概率:
这个问题其实很简单，但是开始看出题人巨巨的题解看了好久...
巨巨的意思是，枚举x左边和右边的情况。
从左边只有0个数，右边n-k个数开始，这个时候就是g(0)g(n-k)。
之后就是左边只有1个数，右边n-k-1个数，g(1)g(n-k-1)
最后得到的公式
\(p(k) = \sum_{i=k}^n\frac{g(i-k)g(n-i)}{g(n)}\)
最后就是计算对应的期望了
