组合数学(1)----错位排列

整理自Richard A.Brualdi的《组合数学》

1.定义

如果定义全排列 1~n，
那么一个排列满足任意的i都满足a[i]!=i，称之为错位排列。
定义集合元素个数为n的错位排列个数为 $D_n$
比如这些问题:
一个聚会上，10位绅士查看他们的帽子。有多少种方式使得这些绅士中没有人能够拿到他们最开始的帽子？
把一个单词打乱，多少种可能新单词和旧单词每一位都不一样?
诸如此类。

2.递推公式

错位排列有两种递推公式
第一: $D_n = (n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$
第二: $D_n = nD_{n-1}+(-1)^{n}$

其中1,2式子均满足 $D_1 = 0,D_2 = 1$

下面给出《组合数学》中的证明:
假设 $n >=3$ ，考虑 $\{1,2...,n\}$ 的 $D_n$ 个错位排列
来看看第一个位置的情况:
它可以是除1以外的任何数字，那么一共有 $n-1$ 种情况并且每一种情况所产生的排列数都应该相同，我们设为 $d_n$
也就是说 $D_n = (n-1)d_n$
现在来看看 $d_n$ :
因为第1个位置可以是除1以外的任何数，并且产生排列数相同。
出于方便，我们假设第1个位置的数是2:
确定了第一个位置之后我们发现只需要讨论第二个位置是不是1这是一个特殊的点。

如果第2个位置是1，那接下来的 $n-2$ 个位置等价于n个元素中有两个元素调换了位置。
那我们可以把他们踢出去，他们已经不影响问题了。
而剩下的元素将继续进行错位排列，也就是 $D_{n-2}$ 。

如果第2个位置不是1，这时候来重新陈述一下问题：
第2个位置不能是1，第3个位置不能是3，第4个位置不能是4.....第n个位置不能是n
这个问题是不是似曾相识?
是的,又是一个错排，这个错排只少了一个位置，所以他是 $D_{n-1}$ 。

得到: $d_n = D_{n-1}+D_{n-2}$
联立之前的式子就是 $D_n = (n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$
再将这个式子不断地递归求解就会得出 $D_n = nD_{n-1}+(-1)^{n}$

3.通项公式

先直接给出结论(uysy这个也没啥用，时间复杂度也是O(n)的)
$D_n = n!(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+...(-1)^n\frac{1}{n!})$
这个问题需要用到容斥定理的一个结论。
之后在容斥定理的总结中给出(莫比乌斯反演真的看不懂啊* ^ *)