数论(2)---逆元
数论(2)--------求逆元
1.exgcd算法
适用于个数不多但是mod很大的时候
时间复杂度:O(log n)
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){//扩展欧几里得算法
if(a == 0 && b == 0) return -1;
if(b==0){
x=1,y=0;
return a;
}
ll res=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return res;
}
ll inv(ll a){//求a在mod下的逆元,不存在逆元返回-1
ll x,y;
ll ans = exgcd(a,mod,x,y);
return ans == 1 ? (x%mod+mod)%mod : -1;
}
2.递归求逆元
mod数是素数
时间复杂度:O(logmod)
//只能求a < m 的情况,a、m互质
ll inv(ll a){
//if(a > mod) swap(a,mod);
if(a == 1) return 1;
return inv(mod%a,mod)*(mod-mod/a)%mod;
}
3.欧拉函数求解
在mod是个素数的时候用,并且方便
时间复杂度:O(logmod)
ll f_pow(ll x,ll n){
ll res=1;
while(n){
if(n&1) res=res*x%mod;
x=x*x%mod;
n>>=1;
}
return res;
}
ll inv(ll a,ll mod){
return f_pow(a,mod-2);
}
4.逆元线性预处理
求1...n之间每一个数字的逆元,如果都使用上面的算法将会达到\(O(n log p)\),而利用递推的的方式可以\(O(n)\)的处理这个问题。
如下:
\(i^{-1} = -\lfloor \frac{p}{i} \rfloor* (p\mod i)^{-1}\mod p\)
(图论选手完全看不懂就是了)
int inv[N];
void init_inv(){
inv[1] = 1;
for(int i = 2;i < N;i++)
inv[i] = (mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
}