P1077 摆花 背包DP

题目描述

小明的花店新开张，为了吸引顾客，他想在花店的门口摆上一排花，共m盆。通过调查顾客的喜好，小明列出了顾客最喜欢的n种花，从1到n标号。为了在门口展出更多种花，规定第iii种花不能超过\(a[i]\)盆，摆花时同一种花放在一起，且不同种类的花需按标号的从小到大的顺序依次摆列。

试编程计算，一共有多少种不同的摆花方案。

输入格式

第一行包含两个正整数n和m，中间用一个空格隔开。

第二行有n个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，依次表示\(a1,a2,…,an\)。

输出格式

一个整数，表示有多少种方案。注意：因为方案数可能很多，请输出方案数对\(1000007\)取模的结果。

输入输出样例

输入 #1

2 4
3 2

输出 #1

2

说明/提示

【数据范围】

对于\(20\)%数据，有\(0<n≤8,0<m≤8,0≤ai≤8\)；

对于\(50\)%数据，有\(0<n≤20,0<m≤20,0≤ai≤20\)；

对于\(100\)%数据，有\(0<n≤100,0<m≤100,0≤ai≤100\)。

NOIP 2012 普及组 第三题

题解

定义状态：\(f[i][j]\)为前 i 种花共摆放了 j 盆的总方案数。

易得\(f[i][j] = \sum_{k=0}^{a[i]}f[i-1][j-k]\)(第i 种花摆放了 k 盆)

时间复杂度：\(O(nm*a[i])\)

空间复杂度：\(O(nm)\)

此题根据状态转移方程可以将数组改为滚动数组或一维数组(同背包DP)。

我是来水题解的，此处不贴优化代码。

code:

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 1e2 + 5, mod = 1e6 + 7;
int read() {
    int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
    while(! isdigit(ch)) f = (ch=='-')?-1:1, ch = getchar();
    while(isdigit(ch)) x = (x<<3)+(x<<1)+(ch^48), ch = getchar();
    return x * f;
}
int n, m, a[N], f[N][N];
int main() {
    n = read(); m = read();
    for(int i = 1;i <= n;i ++) a[i] = read();
    f[0][0] = 1;
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
    	for(int j = 0;j <= m;j ++) {
	    	for(int k = 0;k <= min(j, a[i]);k ++) {
    			(f[i][j] += f[i-1][j-k]) %= mod;
			}
		}
	}
	printf("%d\n", f[n][m]);
    return 0;
}