P4161 [SCOI2009]游戏 素数筛 + 背包DP

题目描述

windy学会了一种游戏。

对于1到N这N个数字，都有唯一且不同的1到N的数字与之对应。

最开始windy把数字按顺序 1，2，3，…… ，N写一排在纸上。

然后再在这一排下面写上它们对应的数字。

然后又在新的一排下面写上它们对应的数字。

如此反复，直到序列再次变为 1，2，3，……，N
。

如： 1 2 3 4 5 6

对应的关系为

1->2 2->3 3->1 4->5 5->4 6->6

windy的操作如下

1 2 3 4 5 6

2 3 1 5 4 6

3 1 2 4 5 6

1 2 3 5 4 6

2 3 1 4 5 6

3 1 2 5 4 6

1 2 3 4 5 6

这时，我们就有若干排1到N的排列，上例中有7排。

现在windy想知道，对于所有可能的对应关系，有多少种可能的排数。

输入格式

一个整数，N。

输出格式

一个整数，可能的排数。

输入输出样例

输入 #1

3

输出 #1

3

输入 #2

10

输出 #2

16

说明/提示

30%的数据，满足 1<=N<=10。

100%的数据，满足 1<=N<=1000。

题解

通过 手玩 一番样例，将每个数向它下一轮所变换的数连一条边发现：

所连成的图一定为环，而这个环大小所代表的含义为：环上所有数进行变换所经过的排数。

因最小公倍数是所有形成这个最小公倍数的倍数，所以进一步推知排数是所有环大小的最小公倍数。

至此，问题可以转化为求 和为 n 的多个数 有多少种可能的最小公倍数，即为有多少种可能的排数。

线性筛质数。

设\(f[i][j]\)为第 \(i\) 个质数， 前面最小公倍数为 \(j\) 方案总数。

则\(f[i][j]=\sum{f[i-1][j-p_{k_i}]}\)

根据方程可将数组压成一维。

时间复杂度\(O(n^2)\), 空间复杂度\(O(n^2)\)

code:

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e3 + 5;
int read() {
    int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
    while(! isdigit(ch)) f = (ch=='-')?-1:1, ch = getchar();
    while(isdigit(ch)) x = (x<<3)+(x<<1)+(ch^48), ch = getchar();
    return x * f;
}
int n, pri[N], cnt;
LL f[N], ans;
bool vis[N];
void Prime() {
    vis[0] = vis[1] = 1;
    for(int i = 2;i <= N;i ++) {
        if(vis[i] == 0) pri[++ cnt] = i;
        for(int j = 1;j <= cnt&&i * pri[j] <= N;j ++) {
            vis[i * pri[j]] = 1;
            if(i % pri[j] == 0) break;
        }
    }
}
int main() {
    Prime();
    if((n = read()) == 1) { printf("1\n"); return 0; }
    f[0] = 1;
    for(int pos = 1;pos <= cnt;pos ++) {
        for(int j = n;j >= pri[pos];j --) {
            int tmp = pri[pos];
            while(tmp <= j) f[j] += f[j - tmp]， tmp *= pri[pos];
        }
    }
    for(int i = 1;i <= n;i ++) ans += f[i];
    printf("%lld\n", ans + 1);
    return 0;
}