第一章：行列式

行列式的定义

行列式可以记为\(det（a_{ij}）\)

行列式的性质

1.行列式中任何一列（行）更换，行列式的值变号

有两列（行）成比例，说明行列式的值为0

2.行列式中任何一列（行）乘k再加上到另一列（行），行列式的值不变

3.行列式中有两列（行）成比例，行列式的值为0

4.行列式中某一行或者某一列等于两个数相加等于以下

\[\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{21} & a^{1}_{13}+a^{2}_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a^{1}_{23}+a^{2}_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a^{1}_{33}+a^{2}_{33} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{21} & a^{1}_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a^{1}_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a^{1}_{33} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{21} & a^{2}_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a^{2}_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a^{2}_{33} \end{array}\right|\]

5.行列式前乘一个系数k，等价于某一行或者某一列都乘系数k

6.行列式的转置和行列式本身的值相等即是\(|A|=|A^T|\)

1.定义余子式和代数余子式

2.行列式的值等于某一行或者某一列的数乘对应的代数余子式之和

\(det(a_{ij})=a_{11}·A_{11}+a_{21}·A_{21}+a_{31}·A_{31}+......+a_{n1}·A_{n1}\)

3.某一行的代数余子式乘以其它行的数，这个展开式就是等于0

特殊的行列式

范德蒙德行列式：

\[\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 & 1& 1&......&1\\ x_{1} & x_{2} & x_{3}& x_{4}& x_{5}& ...... &x^{}_{n}\\ x^{2}_{1} & x^{2}_{2} & x^{2}_{3} &x^{2}_{4} &x^{2}_{5} &......&x^{2}_{n}\\ ......&......&......&......&......&......& .......\\ x^{n}_{1} &x^{n}_{2} &x^{n}_{3} &x^{n}_{4} &x^{n}_{5} &...... &x^{n}_{n} \end{array}\right|=\displaystyle\prod_{0\leq i<j\leq n+1}^{}(x_j-x_i)\]

特别的，关于行列式的计算方法

1.直接利用法则计算（逆序数判断符号）
2.利用性质进行形式变换计算，变成上三角或者下三角，或者利用代数余子式的性质进行计算
3.利用数学归纳法，证明题好用，但是如果是计算题，需要算前几项再总结出规律来
4.类比归纳法

\[\left|\begin{array}{ccc} a & b & 0 & 0 & 0 & ......&0 \\ c & a & b & 0 & 0 & ......&0 \\ 0 & c & a & b & 0 & ...... &0 \\ ......&......&......& ..... .&......&......& .......\\ 0 &0 &0 &0 &0 &c &a \end{array}\right|= \begin{cases} \ \alpha +\beta=a\\ \alpha·\beta=bc \end{cases}=\begin{cases} \frac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\alpha-\beta} &\alpha \neq \beta\\ \frac{(n+1)a^n}{2^n} \ \ \ &\alpha = \beta \end{cases} \]

行列式常用结论（矩阵）

\( 1.|kA|=k^n|A|\\ 2.|A^T|=|A|\\ 3.|A^*|=|A|^{n-1}\\ 4.|AB|=|A|·|B| \)