微分方程笔记

在写第二节第六个的时候实在是不想写公式了，暂时的本领和技巧都不够，写数学公式简直就是要磨坏我一身的骨头。哎，就写形式和结论了，见谅！！😯{抱拳！！}

微分方程基本知识点及其解法

一、基本定义

\(a（x）·y^{(n)}+b(x)·y^{(n-1)}+c（x）y^{(n-2)}+d（x）y^{(n-3)}......+e（x）y'''+g（x）y''+h（x）y'+j(x)y=f(x)\)
这个就是n阶微分方程，左边的a，b，c，d······称为系数项。\(f（x）\)称为自由项。\(y^{(n)}\)中的n称为阶数
（1）.当\(f(x)\equiv0\)时，称为齐次微分方程
（2）.当\(f(x)\neq0\)时，称为非齐次微分方程
（3）.当\(a,b,c,d,e....\)为常数时，称为常系数微分方程
（4）.当\(a,b,c,d,e....\)为变函数时，称为线性微分方程

二、一阶微分方程

【1】.变量可分离型
$$\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{g(x)}{f(y)}$$

\[\frac{\partial y}{f(y)}=\frac{\partial x}{g(x)} \]

【2】.可化成变量可分离型 $$\frac{\partial y}{\partial x}=f(ax+by+c)$$ $$\mu=ax+by+c$$ $$\mu'=a+bf(\mu)$$ $$\mu=\phi(x,c_1)=ax+by+c$$ 最后求解$y$

【3】.齐次微分方程

\[\frac{\partial y}{\partial x}=f(\frac{y}{x}) \]

\[\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial \mu}{\partial y}=f(\frac{y}{x}) \]

\[y=\mu x \]

\[y'=x\mu'+\mu \]

\[x\mu'+\mu=f(u) \]

\[\frac{\partial \mu}{{f(\mu )-\mu}}=\frac{\partial x}{ {x}} \]

\[\mu=\frac{y}{x}=\phi(x,C_1) \]

最后求解\(y\)

【4】.可降阶的形式一

\[\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=f(y',x) \]

\[\mu=\frac{\partial y}{\partial x} \]

\[\mu'=y'' \]

\[\mu'=f(\mu,x) \]

最后求解\(y=\displaystyle\int\mu_{(x)} dx\)

【5】.可降阶的形式二

\[\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=f(y',y) \]

\[\mu=\frac{\partial y}{\partial x} \]

\[\mu=\frac{\partial \mu}{\partial y}·\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{\partial \mu}{\partial y}·\mu \]

\[\frac{\partial \mu}{\partial y}·\mu=f(y,y')=f(y,\mu) \]

\[\mu=\frac{\partial y}{\partial x}=\phi(y,c_1) \]

最后求解\(y\)的解析式即可

【6】.一阶线性微分方程

\[y'+p(x)y=q(x) \]

\[y=e^{\int-p(x)dx}[\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C] \]

【7】.伯努利微分方程

\[y'+p(x)y=q(x)x^n \]

\[z=y^{1-n} \]

\[\frac {z'}{1-n} +p(x)z=q(x) \]

解出来\(z\)再解\(y\)

三、二阶微分方程

【8】二阶微分方程

\[y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) \]

二阶常系数微分方程通解：特征方程：\(r^2+pr+q=0\)

\[\begin{cases} \Delta >0 &y=C_1{e^{r_1}}^x+C_2{e^{r_2}}^x\\ \Delta =0 &y=(C_1+C_2x){e^{r}}^x\\ \Delta <0 &y=(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x){e^{\alpha}}^x\\ \end{cases} \]

当\(f(x)=e^{\alpha }Q_n(x)\)时，特解的形式为

\[y^*=e^{\alpha }Q_n(x)x^k \]

\[\begin{cases} k =0 &\alpha 不是特征值\\ k =1 &\alpha 是单根\\ k =2 &\alpha 是二重根\\ \end{cases} \]

当\(f(x)=e^{\alpha }[Q_m(x)\cos\beta x+Q_n(x)\sin\beta x]\)时，特解的形式为

\[y^*=e^{\alpha }[{Q_l}^{(1)}(x)\cos\beta x+{Q_l}^{(2)}(x)\sin\beta x]x^k \]

\[\begin{cases} k =0 &\alpha\pm\beta i 不是特征值\\ k =1 &\alpha\pm\beta i 是特征值\\ \end{cases} \]

四、高阶微分方程

$$ \begin{cases} r是单根，对应一项C_1e^{\alpha x}\\ r是k重根，对应k项{(C_1+C_2x+C_3x^2+C_4x^3......++C_kx^{k-1})}e^{\alpha x}\\ \alpha \pm\beta i是单根，对应一项e^{\alpha x}[C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x]\\ \alpha \pm\beta i是k重根，对应2k项e^{\alpha x}\{[C_1+C_2x+C_3x^2......+C_kx^{(k-1)}]\cos\beta x+[D_1+D_2x+D_3x^2+D_4x^3+......+D_kx^{(k-1)}]\sin\beta x\}\\ \end{cases} $$