自控导学：拉普拉斯变换

一.基本函数的变换
二.基本的性质
三.拉普拉斯反变换的解题方法
综合练习题

\[Laplace\ transformation \]

\[2024-09-13 \ \ \ \ 02:28:16 星期五 \]

一.基本函数的变换

$f(t)=1_{(t)}$ $F(s)=\frac{1}{s}$

阶跃函数也被写作$\epsilon(t) or H(t)$

$f(t)=t$ $F(s)=\frac{1}{s^{2}}$

$f(t)=t^2$ $F(s)=\frac{2}{s^{3}}$

基本通式：
正变换：$f(t)=t^n \ \ \ \ F(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}$ 逆变换：$F(s)=\lambda\frac{1}{s^{n}} \ \ \ \ f(t)=\frac{\lambda}{(n-1)!}t^{n-1} \ \ \ \ \ $

$f(t)=\delta(t)\ \ \ \ F(s)=1$

$f(t)=e^{at}\ \ \ \ \ \ F(s)=\frac{1}{s-a}$

$f(t)=\cos(wt)\ \ \ \ \ F(s)=\frac{s}{s^2+w^2}$

$f(t)=\sin(wt)\ \ \ \ \ F(s)=\frac{w}{s^2+w^2}$

例题
eg1:
$L\{t^3\}$
原式=$\frac{6}{s^4}$

eg2:
$L\{-2\cos2t+3\sin2t\}$
原式=$-2\frac{s}{s^2+4}+\frac{6}{s^2+4}$

$\ \ \ \ \ \ $= $ \frac{-2s+6}{s^2+4} $

eg3:
$L^{-1} \{ \frac{s+4}{s^2+4} \}$
原式=$ \cos2t+3\sin2t$

eg4:
$L \{2e^{-4t}+3\cos5t+4\sin3t+t^5+5\delta(t) \}$
原式=$\frac{2}{s+4}+\frac{3s}{s^2+25}+\frac{12}{s^2+9}+\frac{120}{s^6}+5$

eg5:
$L^{-1} \{ \frac{3}{s+5}+\frac{2s+5}{s^2+16}+6+\frac{7}{s^6} \}$
原式=$3e^{-5}+2\cos4t+\frac{5}{4}\sin4t+6\delta(t)+\frac{7}{5!}t^5$

二.基本的性质

1.线性特性

$L\{af(t) +bg(t)\}=aF(s)+bG(s)$

2.第一移位定理

$L\{f(t) e^{at}\}=F(s-a)$

在这里面$e^{at}$被称为收敛因子

例题
eg5:$L\{e^{2t}\cos2t\}$
原式=$\frac{s}{s^2+4} _{(s=s-2)}$

=$\frac{s-2}{(s-2)^2+4} $

eg6:$L\{e^{-3t}\sin3t\}$
原式=$\frac{3}{(s+3)^2+9}$

eg7: $L^{-1} \{\frac{s+2}{s^2+4s+13}\}$
原式=$\frac{s+2}{(s+2)^2+9}$

=$\frac{s+2}{(s+2)^2+9}$

=$e^{-2t}\cos3t$

eg8: $L^{-1} \{\frac{2s+3}{s^2+2s+10}\}$
原式=$\frac{2（s+1）+1}{(s+1)^2+9}$
=$2e^{-t}\cos3t+\frac{1}{3}e^{-t}\sin3t$

3.第二移位定理

f(t)$\to$F(s):$L\{f(t-a)H(t-a)\}=F(s)e^{-as}$

$e^{-as}$称为延迟因子

例题
eg9:$L\{H(t-2\pi)\sin2t\}$
原式=$\{H(t-2\pi)\sin2（t-2\pi）\}$
=$F(s)e^{-2\pi s}$
=$\frac{2}{s^2+4}e^{-2\pi s}$

eg10:$L\{t·H(t-5)\}$
原式=$\{(t-5)·H(t-5)+5·H(t-5)\}$
=$F(s)e^{-5 s}$
=$\frac{1}{s^2}e^{-5 s}+\frac{5}{s}e^{-5s}$

f(t)$\to$F(s):$L^{-1}\{F(s)e^{-as}\}=f(t-a)H(t-a)$

例题
eg10:$L^{-1}\{e^{-3s} · \frac{s} {s^2+16}\}$
原式=$\{H(t-3)\cos 4(t-3)\}$

4.特别的性质

性质
1	$ L \{ tf(t)\}=-\frac {\partial F(s)}{\partial s}$
2	$ L \{ \frac {f(t)}{t}\}=\displaystyle\int_{s}^{+\infty}F(\lambda)d\lambda $

例题
eg11:$L\{t \sin2t\}$
原式=$L\{ t\sin2t\}=-\frac {\partial \frac{2}{s^2+4}}{\partial s}$

=$\frac{4s}{(s^2+4)^2}$

5.微分特性

\[f'(t)\to s·F（s）-f(0) \]

\[f''(t)\to s^2·F（s）-sf(0) -f'(0) \]

例题
eg12:
$y''+4y'+3y=3\cos2t. \ \ \ \ \ y(0)=0;\ \ \ \ y'(0)=0$.求$F（s）$

$ s^2·F（s）-sf(0) -f'(0)+4[s·F（s）-f(0)]+3F(s)=\frac{3s}{s^2+4}$

$(s^2+4s+3)·F(s)=\frac{4+3s+s^2}{s^2+4}$

$F(s)=\frac{4+3s+s^2}{(s^2+4)(s^2+4s+3)}$

6.积分特性

\[L\{\displaystyle \int_{0}^{t}f(\lambda)d\lambda\}=\frac{1}{s}·F(s) \]

\[L\{\displaystyle \int_{0}^{t}\int_{0}^{t}f(\lambda)d\lambda d\lambda\}=\frac{1}{s^2}·F(s) \]

7.卷积特性

\[\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(\lambda) \ast g(t-\lambda)d\lambda=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(t-\lambda) \ast g(\lambda)d\lambda \]

\[L\{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(\lambda) \ast g(t-\lambda)d\lambda \}=L\{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(t-\lambda) \ast g(\lambda)d\lambda \}=F(s)\times G(s) \]

例题
eg13: 求$L\{e^{2t}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-2\lambda}\sin2\lambda d\lambda\}$

原式=$L\{e^{2t}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-2\lambda}\sin2\lambda d\lambda\}=L\{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{2(t-\lambda)}\sin2\lambda d\lambda\}$

原式=$L\{e^{2t}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-2\lambda}\sin2\lambda d\lambda\}=L\{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{2\lambda}\sin2(t-\lambda) d\lambda\}=\frac{1}{s-2}·\frac{2}{s^2+4}·$

8.初值定理&终值定理

初值定理：$$\displaystyle\lim_{t\to0}f(t)=\displaystyle\lim_{s\to \infty}sF(s)$$
终值定理：$$\displaystyle\lim_{t\to\infty}f(t)=\displaystyle\lim_{s\to 0}sF(s)$$

三.拉普拉斯反变换的解题方法

1.单根的形式（要求真分式，不是的化为真分式）

形如:

\[\frac{a_1s^n+a_2s^{n-1}+a_3s^{n-2}……+a_{n-1}s^1+a_ns^{0}}{b_1s^m+b_2s^{m-1}+b_3s^{m-2}……+b_{m-1}s^1+b_ms^{0}}\ \ \ (m\geq n) \]

化为

\[\frac{a_1s^n+a_2s^{n-1}+a_3s^{n-2}……+a_{n-1}s^1+a_ns^{0}}{b_1\displaystyle\prod_{i=1}^{m}(s-\lambda_i)} \]

拆成

\[\displaystyle\sum_{i=1}^{m}\frac{c_i}{s-\lambda_i} \]

留数法求分子系数

\[c_i=\frac{a_1s^n+a_2s^{n-1}+a_3s^{n-2}……+a_{n-1}s^1+a_ns^{0}}{b_1\displaystyle\prod_{i=1}^{n}(s-\lambda_i)}\times(s-\lambda_{t_{t\in[1,n]}}|_{s=\lambda_{t}} ) \]

最后利用基本的拉普拉斯逆变换公式求其逆变换

\[L_{-1}=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}{c_i}e^{\lambda_i t} \]

例题
eg14: 求$L^{-1}\{\frac{3s+2}{(s+2)(s+3)}\}$.

\[L^{-1}\{\frac{7}{(s+3)}+\frac{-4}{(s+2)}\} \]

\[L^{-1}=7e^{-3t}+4e^{-2t} \]

2.多重根的形式（最多三重根）

二重根：
化为

\[\frac{a_1s^n+a_2s^{n-1}+a_3s^{n-2}……+a_{n-1}s^1+a_ns^{0}}{b_1\displaystyle\prod_{i=1}^{m-2}(s-\lambda_i)(s-\mu)^2} \]

\[\displaystyle\sum_{i=1}^{m-2}\frac{c_i}{s-\lambda_i}+\frac{d_1}{(s-\mu)^2}+\frac{d_2}{s-\mu} \]

1.求$d_1$

\[d_1=\frac{a_1s^n+a_2s^{n-1}+a_3s^{n-2}……+a_{n-1}s^1+a_ns^{0}}{b_1\displaystyle\prod_{i=1}^{m-2}(s-\lambda_i)(s-\mu)^2}\times(s-u)^2|_{s=\mu} \]

2.求$d_2$

\[d_2=\frac{\partial{\frac{a_1s^n+a_2s^{n-1}+a_3s^{n-2}……+a_{n-1}s^1+a_ns^{0}}{b_1\displaystyle\prod_{i=1}^{m-2}(s-\lambda_i)(s-\mu)^2}\times(s-u^2)}}{\partial{s}}|_{s=\mu} \]

三重根：
化为

\[\frac{a_1s^n+a_2s^{n-1}+a_3s^{n-2}……+a_{n-1}s^1+a_ns^{0}}{b_1\displaystyle\prod_{i=1}^{m-3}(s-\lambda_i)(s-\mu)^3 } \]

\[\displaystyle\sum_{i=1}^{m-3}\frac{c_i}{s-\lambda_i}+\frac{d_1}{(s-\mu)^3}+\frac{d_2}{(s-\mu)^2}+\frac{d_3}{(s-\mu)} \]

1.求$d_1$

\[d_1=\frac{a_1s^n+a_2s^{n-1}+a_3s^{n-2}……+a_{n-1}s^1+a_ns^{0}}{b_1\displaystyle\prod_{i=1}^{m-3}(s-\lambda_i)(s-\mu)^3}\times(s-u)^3|_{s=\mu} \]

2.求$d_2$

\[d_2=\frac{\partial{\frac{a_1s^n+a_2s^{n-1}+a_3s^{n-2}……+a_{n-1}s^1+a_ns^{0}}{b_1\displaystyle\prod_{i=1}^{m-3}(s-\lambda_i)(s-\mu)^3}\times(s-u)^3}}{\partial{s}}|_{s=\mu} \]

3.求$d_3$

\[d_3=\frac{1}{2}\frac{\partial^2{\frac{a_1s^n+a_2s^{n-1}+a_3s^{n-2}……+a_{n-1}s^1+a_ns^{0}}{b_1\displaystyle\prod_{i=1}^{m-3}(s-\lambda_i)(s-\mu)^3}\times(s-u)^3}}{\partial{s^2}}|_{s=\mu} \]

3.共轭虚根

eg15：$F（s）=\frac{3s+5}{(s+1)(s^2+2s+10)}$

\[F(s)=\frac{k_1}{s+1}+\frac{As+B}{s^2+2s+10} \]

\[k_1=\frac{2}{9} \]

\[\frac{2}{9}(s^2+2s+10)+(As+B)(s+1)=3s+5 \]

\[A=-\frac{2}{9},B=\frac{25}{9} \]

\[F(s)=\frac{\frac{2}{9}}{s+1}+\frac{-\frac{2}{9}s+\frac{25}{9}}{s^2+2s+10} \]

\[F(s)=\frac{\frac{2}{9}}{s+1}+\frac{-\frac{2}{9}(s+1)+3}{(s+1)^2+9} \]

\[L^{-1}=\frac{2}{9}e^{-t}-\frac{2}{9}e^{-t}\cos3t+e^{-t}\sin3t \]

综合练习题

已知$y''+2y'+2y=\delta(t-3)$ ; $y(0)=y'(0)=0$，求y（t）。

\[s^2Y(s)+2Y(s)+Y(s)=e^{-3s} \]

\[Y(s)=\frac{1}{s^2+2s+2}·e^{-3s} \]

\[Y(s)=\frac{1}{(s+1)^2+1}·e^{-3s} \]

\[y(t)=\sin t·e^{-t}······（*未处理完） \]

\[y(t)=\sin (t-3)·e^{-(t-3)}·H(t-3) \]

posted on 2024-09-13 04:49 一纸小肥猪阅读(257) 评论(0) 编辑收藏举报