[FJOI2014]最短路径树问题

传送门

Description

给一个包含\(n\)个点，\(m\)条边的无向连通图。从顶点\(1\)出发，往其余所有点分别走一次并返回。

往某一个点走时，选择总长度最短的路径走。若有多条长度最短的路径，则选择经过的顶点序列字典序最小的那条路径(如路径\(A\)为\(1,32,11\)，路径\(B\)为\(1,3,2,11\)，路径B字典序较小。注意是序列的字典序的最小，而非路径中节点编号相连的字符串字典序最小)。到达该点后按原路返回，然后往其他点走，直到所有点都走过。

可以知道，经过的边会构成一棵最短路径树。请问，在这棵最短路径树上，最长的包含K个点的简单路径长度为多长？长度为该最长长度的不同路径有多少条？

这里的简单路径是指：对于一个点最多只经过一次的路径。不同路径是指路径两端端点至少有一个不同，点\(A\)到点\(B\)的路径和点\(B\)到点\(A\)视为同一条路径。

Solution

强行二合一题目

虽然用点分治可以很轻松的A过

但是还是想用长链剖分来做

首先\(dijkstra+dfs\)求出题目中所要求的那棵最短路树

考虑树dp

\(f[x][i]\)表示从\(x\)往下\(j\)长度链的最大距离

\(g[x][i]\)表示满足最大距离的链的数量

对于长链剖分的重儿子，直接继承它的答案

至于怎么继承，就不说了，不过\(O(1)\)继承确实是长链剖分处理树形\(dp\)的核心呢

Code 

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)>(b)?(b):(a))
#define reg register
inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
const int MN=3e4+5,MM=6e4+5;
int n,m,K;
struct edge
{
	int to,w,nex;
	bool operator <(const edge&o)const{return to<o.to;}
}e[MN];
std::vector<edge>G[MN];
inline void ins_(int x,int y,int w)
{
	G[x].push_back((edge){y,w,0});
	G[y].push_back((edge){x,w,0});
}
int hr[MN],Hr[MN],en;
inline void ins(int x,int y,int w){e[++en]=(edge){y,w,hr[x]};hr[x]=en;}
int dis[MN];
class dijkstra
{
	#define nN 32768
	#define inf 0x3f3f3f3f
	struct node{int x,f;}t[nN<<1];
	inline node Min(const node&o,const node&oo){return o.x<oo.x?o:oo;}
	inline void rw(int k,int x){for(t[k+=nN].x=x;k>>=1;)t[k]=Min(t[k<<1],t[k<<1|1]);}
	public:
		inline void solve()
		{
			reg int i,x;
			for(i=1;i<nN<<1;++i) t[i].x=inf;
			for(i=1;i<=n;++i) dis[t[i+nN].f=i]=inf;
			for(rw(1,dis[1]=0);t[1].x!=inf;)
			{
				rw(x=t[1].f,inf);
				for(i=0;i<G[x].size();++i)if(dis[G[x][i].to]>dis[x]+G[x][i].w)
					rw(G[x][i].to,dis[G[x][i].to]=dis[x]+G[x][i].w);
			}
		}
}dij;
bool vis[MN];
void dfs1(int x)
{
	for(reg int i=0;i<G[x].size();++i)
	if(dis[x]+G[x][i].w==dis[G[x][i].to]&&!vis[G[x][i].to])
		vis[G[x][i].to]=1,ins(x,G[x][i].to,G[x][i].w),dfs1(G[x][i].to);
}
int mx[MN],len[MN],w[MN];
void dfs2(int x)
{
	for(reg int i=hr[x];i;i=e[i].nex)
	{
		dfs2(e[i].to);
		if(len[e[i].to]>=len[mx[x]]) mx[x]=e[i].to,w[x]=e[i].w;
		if(len[e[i].to]+1>len[x]) len[x]=len[e[i].to]+1;
	}
}
int ans1,ans2,f[MN],g[MN],ind,siz[MN],dfn[MN];
void C(int x,int y)
{
	if(x>ans1) ans1=x,ans2=y;
	else if(x==ans1) ans2+=y;
}
void solve(int x)
{
	reg int i,j,pos=dfn[x]=++ind;
	if(mx[x]) solve(mx[x]),siz[pos]=siz[pos+1]+w[x];
	f[pos]=-siz[pos];g[pos]=1;
	
	if(K<=len[x]) C(f[pos+K]+siz[pos],g[pos+K]);
	
	for(i=hr[x];i;i=e[i].nex)if(e[i].to!=mx[x])
	{
		solve(e[i].to);reg int pv=dfn[e[i].to];
		for(j=0;j<=len[e[i].to];++j)if(j+1<=K&&K-j-1<=len[x])
			C(siz[pv]+f[pv+j]+siz[pos]+f[pos+K-1-j]+e[i].w,g[pv+j]*g[pos+K-1-j]);
		
		for(j=0;j<=len[e[i].to];++j)
		{
			int tmp=siz[pv]+f[pv+j]+e[i].w-siz[pos];
			if(tmp>f[pos+j+1]) f[pos+j+1]=tmp,g[pos+j+1]=g[pv+j];
			else if(tmp==f[pos+j+1]) g[pos+j+1]+=g[pv+j];
		}
	}
}
int main()
{
	n=read(),m=read(),K=read()-1;
	reg int i,x,y;
	while(m--) x=read(),y=read(),ins_(x,y,read());
	for(i=1;i<=n;++i) std::sort(G[i].begin(),G[i].end());
	dij.solve();dfs1(1);dfs2(1);
	ans1=-inf;memset(f,-1,sizeof f);solve(1);
	printf("%d %d\n",ans1,ans2);
	return 0;
}

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