[BJOI2019] 光线

传送门

Description

当一束光打到一层玻璃上时，有一定比例的光会穿过这层玻璃，一定比例的光会被反射回去，剩下的光被玻璃吸收。

有\(n\)层玻璃，已知每层玻璃的发射率和折射率，求从最上面一层射入\(1\)单位的光，有多少单位的光将会穿透这些玻璃

Solution 

有\(1\)单位的光射向玻璃

设\(f_i\)表示最终可以穿透前\(i\)层玻璃的光，\(c_i\)表示会被反射出来的光

可以得到\(f_1=a_1\%\)，\(c_1=b_1\%\)

无论是从底面还是顶面入射，折射率和透光率均相同

发现对于\(i>1\)

\[f_i=a_i\sum_{j=0}^{∞}f_{i-1}(b_ic_{i-1})^j \]

\[c_i=b_i+\sum_{j=0}^∞a_i^2c_{i-1}(c_{i-1}b_i)^j \]

根据\(\sum_{j=0}^∞x^j=\frac{1}{1-x},0<x<1\)计算最终递推式子即可

Code 

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register
#define ll long long
#define db double
using namespace std;
inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
const int MN=5e5+5,P=1e9+7;
int n,a[MN],b[MN],c[MN],f[MN];
int Mul(int x,int y){return (1ll*x*y%P);}
int Add(int x,int y){return (x+y)%P;}
int inv(int x)
{
	int m=P-2,r=1;
	for(;m;m>>=1,x=Mul(x,x))
		if(m&1) r=Mul(r,x);
	return r;
}
int main()
{
	n=read();
	register int i;int inv100=inv(100);
	for(i=1;i<=n;++i) a[i]=Mul(read(),inv100),b[i]=Mul(read(),inv100);
	f[1]=a[1];c[1]=b[1];
	for(i=2;i<=n;++i)
	{
		c[i]=Add(b[i],Mul(Mul(c[i-1],Mul(a[i],a[i])),inv(Add(1,P-Mul(c[i-1],b[i])))));
		f[i]=Mul(f[i-1],Mul(a[i],inv(Add(1,P-Mul(b[i],c[i-1])))));
	}
	printf("%d\n",f[n]);
	return 0;
}

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