[bzoj 3622]已经没有什么好害怕的了

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Description

Solution

广义容斥原理

首先对于要求一个恰好为\(k\)的答案，我们可以转化为不少于\(k\)的答案，然后容斥

怎么求不少于\(k\)的答案呢，我们通常是钦定几个条件必然满足，剩下的就是排列组合乘进去

因为显然会算重，所以要容斥

对于此题：

我们先对两个序列排序

令\(f[i][j]\)表示前第一个序列前\(i\)个数与第二个序列匹配，大于的匹配数不少于\(k\)的方案数

\[f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1]*[k-(i-1)] \]

这里的\(k\) 指的是在第二个序列中小于\(a[i]\)的数的个数

显然，仅仅这样是不够的，因为\(f[i][j]\)还要再乘上\((n-i)!\)，表示剩下的数的匹配方案

那么剩下的直接二项式容斥就可以了

Code 

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)>(b)?(b):(a))
#define reg register
#define int ll
inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
const int MN=2005,mod=1e9+9;
#define Mul(x,y) (1ll*x*y%mod)
#define Add(x,y) ((x+y+mod)%mod)
int n,k,a[MN],b[MN],c[MN],fac[MN],C[MN][MN],f[MN][MN],ans;
signed main()
{
	n=read();k=read();
	reg int i,j;
	for(i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
	for(i=1;i<=n;++i) b[i]=read();
	std::sort(a+1,a+n+1);std::sort(b+1,b+n+1);
	for(fac[0]=i=1;i<=n;++i)fac[i]=Mul(fac[i-1],i);
	C[0][0]=1;
	for(i=1;i<=n;++i)
	{
		C[i][0]=C[i][i]=1;
		for(j=1;j<i;++j) C[i][j]=Add(C[i-1][j-1],C[i-1][j]);
	}
	for(i=1,j=0;i<=n;++i)
	{
		while(b[j+1]<a[i]&&j+1<=n) ++j;
		c[i]=j;
	}
	f[0][0]=1;
	for(i=1;i<=n;++i)for(f[i][0]=j=1;j<=i;++j)
	{
		f[i][j]=Add(f[i][j],f[i-1][j]);
		f[i][j]=Add(f[i][j],Mul(f[i-1][j-1],max(0,c[i]-j+1)));
	}
	if((n+k)&1) return 0*puts("0");
	for(j=i=(n+k)/2;i<=n;++i) f[n][i]=Mul(f[n][i],fac[n-i]),ans=Add(ans,((i-j)&1?mod-1:1)*Mul(f[n][i],C[i][j]));
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
} 

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