Note_4.7
2019/4/7 奇奇怪怪的笔记
狄利克雷卷积
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\(μ∗1=ϵ\)，莫比乌斯反演
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\(Id=φ∗1⇒φ=μ∗Id\)
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\(d=1∗1⇒1=μ∗d\)
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\(σ=Id∗1⇒Id=μ∗σ\)
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\(σ=φ∗d\)
一些性质？
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\(\gcd(a^k-1,b^k-1)=x^{gcd(a,b)}-1\)
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\(\alpha^{\phi(p)}≡1(mod p)\)
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\(gcd(Fib(a),Fib(b))=Fib(gcd(a,b))\)
-
$n|m \Leftrightarrow Fib_n|Fib_m $
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\(d(ij)=∑_{p|i}∑_{q|j}[gcd(p,q)=1]\)
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\(σ_0(n_1n_2...n_m)=\sum_{a_1|n_1}\sum_{a_2|n_2}...\sum_{a_m|n_m}\prod_{1\leq i <j\leq m} [gcd(a_i,a_j)=1 ]\)
-
\(σ(ij)=∑_{p|i}∑_{q|j}[gcd(p,q)=1]\frac{i}{p}q\)
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\(∑^n_{i=1}μ^2(i)=∑_{i⩾1}μ(i)⌊\frac{n}{i^2}⌋\)
广义容斥原理
二项式反演
- \(b_k=\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}a_i \\\Rightarrow a_k=\sum_{i=0}^k(-1)^{k-i}\binom{k}{i}b_i\)
- \(b_k=\sum_{i=k}^n \binom{i}{k}a_i\\\Rightarrow a_k=\sum_{i=k}^n(-1)^{i-k}\binom{i}{k}b_i\)
简单证明：
\(\binom{n}{i}\binom{i}{j}=\binom{n}{j}\binom{n-j}{i-j}\)
对于一式
\(\sum_{i=0}^k(-1)^{k-i}\binom{k}{i}b_i=\sum_{j=0}^n a_j (\sum_{i=j}^k(-1)^{k-i}\binom{k}{j}\binom{k-j}{i-j})\)
考虑二项式定理：
\(\sum_{i=j}^{k}(-1)^{k-i}\binom{k-j}{i-j}=[k-j=0]\)
对于二式
\(\sum_{i=k}^n(-1)^{i-k}\binom{i}{k}b_i=\sum_{j=k}^{n} a_j (\sum_{i=k}^{j}(-1)^{i-k}\binom{i}{k}\binom{j}{i})\)
\(\sum_{i=k}^{j}(-1)^{i-k}\binom{i}{k}\binom{j}{i}=\binom{j}{k}\sum_{i=k}^{j}(-1)^{i-k}\binom{j-k}{i-k}=[j=k]\)
核心是二项式定理，然后记忆方法就是考虑上式和下式其实之差一个\((-1)^{i-k}\)
广义容斥原理
\(A_i\)表示含有性质\(i\)的元素集合
\(b_m\)表示恰好含有\(m\)种性质的元素个数
\(a_m\)表示至少含有\(m\)种性质的元素的元次
\[a_m=\sum_{I\in C(n,m)}|\bigcap_{i\in I}^{} A_i|
\]
发现，含有\(m+k\)个性质的元素被\(a_m\)记录了\(\binom{m+k}{m}\)次
所以\(a_m=\sum_{i=m}^{n} b_i\binom{i}{m}\)，根据二项式反演
Prufer序列与Cayley公式
Prufer序列
与无根树一一对应
定义无根树中度数为\(1\)的点是叶子节点。
求Prufer序列
找到编号最小的叶子节点\(x\)，在Prufer序列中添加与\(x\)相连的点，然后删除\(x\)
不断重复，直到只剩下\(2\)个节点。
具体可以用一个\(set\)，实时维护度数为\(1\)的点。
求无根树
记点集为\(V\)，每次取出Prufer序列第一个元素\(x\)，然后在\(V\)中找到最小的没有在Prufer序列中出现的元素\(y\)，在\(x\)和\(y\)之间连一条边，然后在Prufer序列中删除\(x\)，点集\(V\)中删除\(y\)，不断重复，直到\(V\)中剩下两个点，最后在这两个点中连一条边。
具体也可以用一个\(set\)，实时维护Prufer序列中没有出现过的点。
Cayley公式
\(n\)个点有标号的无根树的个数：\(n^{n−2}\)。
度数为\(d_i\)的点在序列中出现了\(d_i\)次
\(n\)个点，第\(i\)个点的度数为\(d_i\)的无根树个数：\(\frac{(n−2)!}{∏^{n}_{i=1}(d_i−1)!}\)
千年不写的Treap
Code
#define lc c[x][0]
#define rc c[x][1]
int c[MN][2],siz[MN],cnt[MN],rnd[MN],val[MN];
int sz,rt;
inline void update(int x){siz[x]=cnt[x]+siz[lc]+siz[rc];}
inline void lturn(int &x)//旋右儿子
{
int ch=rc;rc=c[ch][0];c[ch][0]=x;
siz[ch]=siz[x];update(x);x=ch;
}
inline void rturn(int &x)//旋左儿子
{
int ch=lc;lc=c[ch][1];c[ch][1]=x;
siz[ch]=siz[x];update(x);x=ch;
}
void Ins(int &x,int v)
{
//注意点，siz是在递归前加的，然后每一步都要考虑是否满足堆的性质
if(!x){x=++sz;lc=rc=0;siz[x]=cnt[x]=1;val[x]=v;rnd[x]=rand();return;}
siz[x]++;if(val[x]==v){cnt[x]++;return;}
if(v<val[x]){Ins(lc,v);if(rnd[lc]<rnd[x]) rturn(x);}
else {Ins(rc,v);if(rnd[rc]<rnd[x]) lturn(x);}
}
int Rnk(int x,int v)
{
//查询v值在x子树内的排名
if(val[x]==v) return siz[lc]+1;
if(val[x]>v) return Rnk(lc,v);
else return siz[lc]+cnt[x]+Rnk(rc,v);
}
int Kth(int x,int k)
{
//查询x子树内排名为k的节点的值
if(k<=siz[lc]) return Kth(lc,k);
else if(k>siz[lc]+cnt[x]) return Kth(rc,k-siz[lc]-cnt[x]);
else return val[x];
}
void Del(int &x,int v)
{
//找到点后，把它旋到底（或只有一个孩子），然后删除
if(!x) return;
if(val[x]==v)
{
if(cnt[x]>1){cnt[x]--;siz[x]--;return;}
if(lc*rc==0) x=lc+rc;
else if(rnd[lc]<rnd[rc]) rturn(x),Del(x,v);
else lturn(x),Del(x,v);
}
else siz[x]--,Del(v>val[x]?rc:lc,v);
}
int Pre(int x,int v)
{
//查询v在x子树内的前驱
if(!x) return 0;int q;
if(val[x]<v) return (q=Pre(rc,v))?q:x;
else return Pre(lc,v);
}
int Suf(int x,int v)
{
//查询v在x子树内的后缀
if(!x) return 0;int q;
if(val[x]>v) return (q=Suf(lc,v))?q:x;
else return Suf(rc,v);
}
超级可爱的Splay
Code
#define rtf 400004
#define rt c[rtf][0]
//这样定义就可以解决rt在rtt中的更新问题
using namespace std;
int n,sz[MN],c[MN][2],tn,fa[MN],val[MN],sum[MN],cnt;
void update(int x){sz[x]=sz[c[x][0]]+sz[c[x][1]]+sum[x];}
void rotate(int x)
{
int y=fa[x],z=fa[y],l=c[y][1]==x,r=l^1;fa[y]=x,fa[x]=z,fa[c[x][r]]=y;
c[z][c[z][1]==f]=x,c[y][l]=c[x][r],c[x][r]=y;update(y);
}
void splay(int x,int y)
{
//旋转到y的子节点
for(int f;fa[x]!=y;rotate(x))
if(fa[f=fa[x]]!=y)rotate(c[fa[f]][1]==f^c[f][1]==x?x:f);
update(x);
}
void ins(int f,int ty,int v)
{
//这里的当前节点就是c[f][ty],在递归前就要更新siz，最后要splay一下
if(!c[f][ty]){fa[c[f][ty]=++tn]=f;val[tn]=v;sum[tn]=1;splay(tn,rtf);return;}
if(v==val[c[f][ty]]){sum[c[f][ty]]++;splay(c[f][ty],rtf);return;}
++sz[f=c[f][ty]];
ins(f,v>val[f],v);
}
void del(int f,int ty,int v)
{
//当前点就是c[f][ty],最后要Splay一下
//把c[f][ty]旋到根，把后继旋到它的右儿子，然后把根的左儿子继承给右儿子
//同样在递归前修改siz
if(val[c[f][ty]]==v)
{
int x=c[f][ty];
if(sum[x]>1){sum[x]--,splay(x,rtf);return;}int tmp;
if(!(c[x][0]*c[x][1])){c[f][ty]=c[x][0]+c[x][1],fa[c[x][c[x][1]!=0]]=f;return;}
for(tmp=c[x][1];c[tmp][0]!=0;tmp=c[tmp][0]);
splay(x,rtf),splay(tmp,rt);
c[tmp][0]=c[x][0],rt=tmp,fa[c[x][0]]=tmp,fa[tmp]=rtf;update(tmp);return;
}
--sz[f=c[f][ty]];del(f,v>val[f],v);
}
int findk(int x,int k)
{
//查询x子树内第k大的节点
if(k<=sz[c[x][0]])return findk(c[x][0],k);
else if(k>sz[c[x][0]]&&k<=sz[c[x][0]]+sum[x]){splay(x,rtf);return val[x];}
else return findk(c[x][1],k-=sz[c[x][0]]+sum[x]);
}
int getk(int x,int k)
{
//查询x子树内小于权值k的节点数量
if(!x)return 0;
if(val[x]>=k)return getk(c[x][0],k);
else return sz[c[x][0]]+sum[x]+getk(c[x][1],k);
}
int pre(int x){int tmp=getk(rt,x);return findk(rt,tmp);}
int suf(int x){int tmp=getk(rt,x+1)+1;return findk(rt,tmp);}
写起来最舒服的FHQ
Code
//只要会三个函数：random，split，merge
class fhq
{
#define MN 100005
private:
int sz;
int val[MN],pri[MN],ls[MN],rs[MN],siz[MN],cnt;
inline unsigned int random()
{
static unsigned int x=23333;
return x^=x<<13,x^=x>>17,x^=x<<5;
}
inline void combine(int x){siz[x]=1+siz[ls[x]]+siz[rs[x]];}
public:
int rt;
int Merge(int rt1,int rt2)
{
if(!rt1||!rt2) return rt2+rt1;
if(pri[rt1]<pri[rt2])
{
rs[rt1]=Merge(rs[rt1],rt2);
combine(rt1);return rt1;
}
else
{
ls[rt2]=Merge(rt1,ls[rt2]);
combine(rt2);return rt2;
}
}
void Split(int x,int k,int &rt1,int &rt2)
{
if(!x)return(void)(rt1=rt2=0);
if(k<=siz[ls[x]]) Split(ls[x],k,rt1,ls[x]),combine(x),rt2=x;
else Split(rs[x],k-siz[ls[x]]-1,rs[x],rt2),combine(x),rt1=x;
}
int Rank(int x,int v)
{
if(!x) return 0;
if(v<val[x]) return Rank(ls[x],v);
else return siz[ls[x]]+Rank(rs[x],v)+1;
}
int Kth(int k)
{
register int rt1,rt2,rt3,c;
Split(rt,k,rt1,rt2);Split(rt1,k-1,rt3,c);
rt=Merge(rt3,Merge(c,rt2));
return val[c];
}
void Insert(int v)
{
val[++sz]=v;pri[sz]=random(),siz[sz]=1;
register int rk=Rank(rt,v),rt1,rt2;
Split(rt,rk,rt1,rt2);
rt=Merge(Merge(rt1,sz),rt2);
}
void Delete(int v)
{
register int rk=Rank(rt,v),rt1,rt2,rt3,c;
Split(rt,rk,rt1,rt2);Split(rt1,rk-1,rt3,c);
rt=Merge(rt3,rt2);
}
}T;
可持久化FHQ
Code
int NewNode(int x)
{
++sz;
val[sz]=val[x];pri[sz]=pri[x];ls[sz]=ls[x];
rs[sz]=rs[x];siz[sz]=siz[x];
return sz;
}
int Merge(int rt1,int rt2)
{
if(!rt1||!rt2) return rt2|rt1;
if(pri[rt1]<pri[rt2])
{
register int p=NewNode(rt1);
rs[p]=Merge(rs[rt1],rt2);
combine(p);return p;
}
else
{
register int p=NewNode(rt2);
ls[p]=Merge(rt1,ls[rt2]);
combine(p);return p;
}
}
void Split(int x,int k,int&rt1,int&rt2)
{
if(!x) return (void)(rt1=rt2=0);
if(k<=siz[ls[x]])
{
rt2=NewNode(x);
Split(ls[x],k,rt1,ls[rt2]);
combine(rt2);
}
else
{
rt1=NewNode(x);
Split(rs[x],k-siz[ls[x]]-1,rs[rt1],rt2);
combine(rt1);
}
}
Link_Cut_Tree
大部分时候都是有根树，也只查询到根的路径，所以根本不需要换根，但是还是有必要会写\(mkrt\)
Code
class Link_Cut_Tree
{
#define MN 300005
private:
int N,fa[MN],c[MN][2],st[MN],val[MN],X[MN];
bool rev[MN];
inline bool nrt(int x){return c[fa[x]][0]==x||c[fa[x]][1]==x;}
inline void Rev(int x){rev[x]^=1;std::swap(c[x][0],c[x][1]);}
inline void up(int x){X[x]=X[c[x][0]]^X[c[x][1]]^val[x];}
inline void down(int x){if(x&&rev[x])Rev(c[x][0]),Rev(c[x][1]),rev[x]=0;}
#define get(x) (c[fa[x]][1]==x)
inline void rotate(int x)
{
int y=fa[x],z=fa[y],l=get(x),r=l^1;if(nrt(y))c[z][get(y)]=x;fa[x]=z;
c[y][l]=c[x][r];fa[c[x][r]]=y;c[x][r]=y;fa[y]=x;up(y);
}
inline void Splay(int x)
{
//最容易写错的部分！
static int top,q[MN];q[top=1]=x;register int i;
for(i=x;nrt(i);i=fa[i]) q[++top]=fa[i];for(;top;--top) down(q[top]);
for(;nrt(x);rotate(x))if(nrt(fa[x])) rotate(get(fa[x])^get(x)?x:fa[x]);up(x);
}
#undef get
//acs的时候一定要up(x)!
inline void access(int x){register int i;for(i=0;x;x=fa[i=x])Splay(x),c[x][1]=i,up(x);}
inline void mkrt(int x){access(x);Splay(x);Rev(x);}
//fdrt后一定要Splay一下！还有就是找根的时候要pushdown
inline int fdrt(int x){access(x),Splay(x);for(;c[x][0];down(c[x][0]),x=c[x][0]);Splay(x);return x;}
inline void Split(int x,int y){mkrt(x);access(y);Splay(y);}
public:
inline void init(int n){register int i;for(i=1;i<=n;++i) val[i]=X[i]=read();}
//如果是有根树：直接fa[x]=y
void Link(int x,int y){mkrt(x);if(fdrt(y)!=x)fa[x]=y;}
//如果是有根树：acs(x);Splay(x);fa[c[x][0]]=0;c[x][0]=0;up(x);
void Cut(int x,int y){Split(x,y);if(c[y][0]==x&&!c[x][1])c[y][0]=fa[x]=0,up(y);}
inline int Query(int x,int y){if(x==y) return val[x];Split(x,y);return X[y];}
inline void Modify(int x,int V){Splay(x);val[x]=V;up(x);}
#undef MN
}T;
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致虚极，守静笃，万物并作，吾以观其复
