「线性基」学习小结
向量空间亦称线性空间。
形式化的，我们定义一个向量空间\((P,V,+,\cdot)\)
其中 \(P\)是一个域，\(V\)是一个非空的集合，其中的集合称作向量，同时定义两种运算分别为向量加法和标量乘法
一个\(P\)上的向量空间\((P,V,+,\cdot)\)，需满足以下8条公理（其中的\(u,v,w\in V\),\(a,b\)是标量）：
- \(u+(v+w)=(u+v)+w\)
- \(u+v=v+u\)
- \(\exists\mathbf{0}\)，\(s.t. \ \ v+\mathbf{0}=v\)
- \(\forall v\in V,\exists w\in V\)，\(s.t.\) \(v + w = 0\)
- \(a(u+v)=au+av\)
- \((a+b)v=av+bv\)
- \(a(bv)=(ab) v\)
- \(\exists 1,s.t. \ 1 \cdot v=v\)
基（basis）
向量空间\(V\)的基是可以张成\(V\)的一个线性无关的向量组，其中的元素称作基向量。
异或运算&线性基
把一个数的二进制表示看成是一个向量
假设向量\(\mathbf{a}_0,\mathbf{a}_1,...\mathbf{a}_m\)，的张成空间是\(S\)
定义一个向量空间\(V=(\{ 0,1\} ,S,xor,\cdot)\)
\(ps:\)这里，我们是把异或当作加法
求法
如何求出\(V\)的一个基\(\mathfrak{B}\)？
我们要做的：是扫描每一个向量\(\mathbf{a}_i\)，如果它存在于其它向量的张成空间中，就把它去掉
如何判断每个向量能否被前面的向量张成得到？
我们利用高斯消元:
int a[MN],base[log_MN];
inline void calc()
{
//n is the highest bit
register int i,j,k;
for(i=0;i<=m;++i)for(j=n;~j;--j)
if(a[i]>>j&1)//Scan every bit of a[I] from top to bottom
{
if(base[j]) a[i]^=base[j];
else
{
//There's no vector for this bit
base[j]=a[i];
/*Maintain a diagonal matrix
for(k=j-1;~k;--k)
if(base[k]&&(base[j]>>k&1)) base[j]^=base[k];
for(k=j+1;k<=n;++k)
if(base[k]>>j&1) base[k]^=base[j];
*/
break;
}
}
}
复杂度是\(O(mn)\)，若位数较多，通常采用bitset优化，复杂度是\(O(\frac{mn^2}{\omega})\)
可以发现，我们在维护一组向量\(base[]\)，满足\(base_i\)的最高位时\(i\)
为了方便，通常只把它消成一个上三角矩阵
当然，你也可以把它消成一个类对角线矩阵，满足每一位最多只存在于一个向量中
线性基的运用
在这里，我们不严谨地称一个向量<另一个向量
其实指的是，每个向量对应的数的大小比较
查询最值
贪心求最大值：
- 如果所求是类对角线矩阵，直接将所有向量相加即可
- 如果所求的是上三角矩阵，从高到低遍历每个向量，若ans加上当前的向量会变大，就将其贪心的加上
最小值是线性基中最小的向量
查询第k小值
首先在去重的前提下。
首先我们求出类对角线矩阵
那么，如果 \(k=(100101)_2\)，我们所求的即为\(base_0 +base_2+base_5\)
也就是各位所对应的数Xor起来即可
查询和是第几大
如果在去重的前提下，和查询第k小差不多。
如果不在去重的前提下的话：
设\(m\)为给出数的个数， \(\mathfrak{B}\)为所求线性基
结论：每个数都出现一样的次数，且这个次数为 \(2^{m - \vert \mathfrak{B}\vert}\)
证明：
所有不在线性基中的数的个数为 \(m - \vert \mathfrak{B}\vert\)，我们任意选择它的一个子集 \(S\)，对于 \(S\) 中的每个数 \(v\)，有唯一的方式表达为 \(\mathfrak {B}\)中向量的线性组合。我们对于每个 \(v\)，将这个线性组合中的向量都选上（一个向量选多次可以看作是次数对\(2\)取模后的结果），两个相同的数异或起来得到 \(0\)，所以对于每个数 \(x\)，我们都能找到至少\(2^{n - \vert \mathfrak{B}\vert}\) 种不同的选择方案，使得异或值为 \(x\)。又因为对于每个子集 \(S\)，为了使得最终异或值为 \(x\)，选择线性基中的向量的方案是唯一的，所以上界也是 \(2^{n - \vert \mathfrak{B}\vert}\)。
（此结论同时出现在2019/2/24 福建四校联考中的T1）
总结
观察大佬博客Sengxian'blog后......
线性基的题型相对比较固定，看到下面的类型基本上都是线性基了：
- 最大异或和 （例题：luogu模板题）
- 第 \(k\)大异或和/异或和是第几大 （例题：bzoj 2844）
- 求所有异或值的和 （例题：bzoj 3811）
线性基中的题目中还用到一个技巧：
- 任意一条\(1\) 到 \(n\) 的路径的异或和，都可以由任意一条 \(1\)到 \(n\) 路径的异或和与图中的一些环的异或和来组合得到。（例题：bzoj 2115）
这便是线性基的全部东西了。
Code
洛谷P3812
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
inline ll read()
{
ll x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
#define MN 55
ll n,base[MN],ans;
inline void insert(ll x)
{
register int i,j;
for(i=50;~i;--i)if(x>>i&1)
{
if(base[i]) x^=base[i];
else
{
base[i]=x;
for(j=i-1;~j;--j)if(base[j]&&(base[i]>>j&1))base[i]^=base[j];
for(j=i+1;j<=50;++j)if(base[j]>>i&1)base[j]^=base[i];
break;
}
}
}
int main()
{
n=read();register int i;
for(i=1;i<=n;++i) insert(read());
for(i=0;i<=50;++i) ans^=base[i];
return 0*printf("%lld\n",ans);
}
bzoj 2115 Xor
dfs出所有的环
求出它们的线性基
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
inline ll read()
{
ll x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
const int MN=200005,mN=50005,_=61;
ll a[MN],tp,dfn[mN],dind,Xor[mN],b[_];
struct edge{int to;ll w;int nex;}e[MN<<1];
int N,M,hr[mN],en;
ll ans=0;
inline void ins(int x,int y,ll w)
{
e[++en]=(edge){y,w,hr[x]};hr[x]=en;
e[++en]=(edge){x,w,hr[y]};hr[y]=en;
}
inline void tj(int x,int f)
{
register int i;
dfn[x]=++dind;
for(i=hr[x];i;i=e[i].nex)if(e[i].to^f)
{
if(!dfn[e[i].to]) Xor[e[i].to]=Xor[x]^e[i].w,tj(e[i].to,x);
else a[++tp]=Xor[x]^Xor[e[i].to]^e[i].w;
}
}
inline void calc()
{
register int i,j,k;
for(i=1;i<=tp;++i)for(j=_-1;~j;--j)if(a[i]>>j&1)
{
if(b[j]) a[i]^=b[j];
else{b[j]=a[i];break;}
}
ans=Xor[N];
for(i=_-1;~i;--i) if((ans^b[i])>ans) ans^=b[i];
}
int main()
{
N=read();M=read();int x,y;
while(M--) x=read(),y=read(),ins(x,y,read());
tj(1,0);calc();
return 0*printf("%lld\n",ans);
}
2019福建四校联考T1
首先，容斥一下，转而求异或值为1的个数
\[ans=(2^n-1)(2^m-1)-num1 \]然后，对于一行，如果这一行的异或值不为0，它总有\(2^{m-1}\)个选法，使得选出的点的异或值是1（易证）
把每行当做一个数，我们只需要求出有哪些行的异或值为0\[num1=2^{m-1}*(2^n-cnt0) \]我们求出线性基，根据线性基的性质，异或值为0的个数一定是\(2^{n - \vert \mathfrak{B}\vert}\)
/*
2019/2/26 15:21
*/
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
const ll mod=998244353,MN=2005;
std::bitset<MN> a[MN],base[MN];
int N,M,B;
ll ans;
inline void calc()
{
register int i,j,k;
for(i=1;i<=N;++i)for(j=M-1;~j;--j)
if(a[i][j])
{
if(base[j].count()) a[i]^=base[j];
else{base[j]=a[i];break;}
}
for(i=0;i<M;++i) if(base[i].count()) ++B;
}
inline ll fpow(ll x,int m)
{
ll r=1;
for(;m;m>>=1,x=1ll*x*x%mod) if(m&1) r=1ll*r*x%mod;
return r;
}
int main()
{
freopen("password.in","r",stdin);
freopen("password.out","w",stdout);
N=read();M=read();
register int i,j;
for(i=1;i<=N;++i)for(j=0;j<M;++j) a[i][j]=read()==1;
calc();
ans=(1ll*(fpow(2,N)-1)*(fpow(2,M)-1)%mod+mod)%mod;
ans-=(1ll*fpow(2,M-1)*(fpow(2,N)-fpow(2,N-B)+mod)%mod)%mod;
ans+=mod,ans%=mod;
return 0*printf("%lld\n",ans);
}
暂时咕咕咕。
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