[bzoj 1076][SCOI2008]奖励关

传送门

Description

你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出k次宝物， 每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。  宝物一共有n种，系统每次抛出这n种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前k-1次系统都抛出宝物1（ 这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第k次抛出各个宝物的概率依然均为1/n。 获取第i种宝物将得到Pi 分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合Si。只有当Si中所有宝物都至少吃过 一次，才能吃第i种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，Pi可 以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。 假设你 采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？

Solution

\(n \leq 15\)，可以对取到的种类集合状压

考虑逆推，\(f[i][S]\)表示到第\(i\)个位置，状态为\(S\),走到第\(k\)步的期望

\[f[i][S] +=max(f[i+1][S],f[i+1][S \cup j]+p[j]) \ \ \ j所需要的集合\subseteq S, \]

\[f[i][S]+ f[i+1][S] \ \ \ j所需要的集合 \nsubseteq S \]

Code 

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
#define MN 105
int k,n,p[16],x,s[16];
double f[2][1<<15];
int main()
{
	k=read();n=read();
	register int i,S,j;
	for(i=0;i<n;++i)
	{
		p[i]=read();
		x=read();
		while(x)
		{
			s[i]|=1<<x-1;
			x=read();
		}
	}
	for(i=k;i>=1;--i)for(S=(1<<n)-1;~S;--S)
	{
		f[i&1][S]=0.;
		for(j=0;j<n;j++)
			f[i&1][S]+=(s[j]|S)==S?max(f[(i&1)^1][S],f[(i&1)^1][S|(1<<j)]+p[j]*1.):f[(i&1)^1][S];
		f[i&1][S]/=n*1.;
	}
	printf("%.6lf\n",f[1][0]);
}

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