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连分数与丢番图方程简介

一、连分数简介

在数学中，连分数 即如下表达式：

$$x=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{\ddots}}}=[a_0;a_1,a_2,\cdots]\,\text{ 其中，}a_i\in \mathbb{Z},i\in \mathbb{N}$$

连分数具有如下性质：

  • 有理数的连分数表示只有有限的项，并且当没有尾随的 1 时，其表示方法唯一；无理数的连分数表示是唯一的。
  • 勒让德定理：二次无理数 \(y\) 的连分数表示会产生循环，即 \(y=[a_0;\overline{a_1,a_2,\cdots,a_2,a_1,2a_0}],a_0=[\,y\,]\)。
  • 数 \(x\) 的截断连分数表示是在特定意义上最佳可能的有理数逼近。

表 1：求 3.245 的连分数

取整 取倒数
3 3.245 - 3 = 0.245 1 / 0.245 = 4.082
4 4.082 - 4 = 0.082 1 / 0.082 = 12.250
12 12.250 - 12 = 0.250 1 / 0.250 = 4.000
4 4.000 - 4 = 0.000 结果为 [3;4,12,4]

这个算法适合于实数，但如果用浮点数实现的话，可能导致 数值灾难。为了得到精确的结果，需要用 欧几里得 GCD 算法 的变体作为替代。

1、数值灾难

由于浮点数被用以在计算机中对实数进行近似表示，因此浮点运算与数学运算有所差异，导致无论是 Python、Matlab 还是经典的 C 语言，都无法通过上面的方法求出 3.245 的连分数，但有一个例外，那就是 Lisp。Lisp 不会自动求出 3245/1000 的结果，因此计算过程变成了分数的计算而非浮点运算，可以得到精确结果。

Lisp 的求法

(defun frac (n)
	(write (floor n))(format t " ")
	(setq a (- n (floor n))) 
	(if (/= a 0) (frac (/ 1 a)))
)(frac (/ 3245 1000))

3 4 12 4

欧几里得 GCD 算法（辗转相除法）

def GCD(a,b,ans=[]): # 实数 a/b 的连分数
	if b:	return GCD(b, a%b, ans+[int(a/b)])
	else:	return ans
print(GCD(3245,1000))

[3, 4, 12, 4]

2、二次无理数的连分数

对于无理数的连分数， Lisp 或者 GSD 算法都有些无能为力。下面着重讨论对无理数 \(\sqrt{n}\) 的连分数展开技巧 [1]：

表 2：求 \(\sqrt{7}\) 的连分数(\([\,\sqrt{7}\,]=2\))

取整 取倒数 分母有理化 分离整数与小数
\(2+\frac{\sqrt{7}-2}{1}\)
2 \(\frac{1}{\sqrt{7}-2}\) \(\frac{\sqrt{7}+2}{3}\) \(1+\frac{\sqrt{7}-1}{3}\)
1 \(\frac{3}{\sqrt{7}-1}\) \(\frac{\sqrt{7}+1}{2}\) \(1+\frac{\sqrt{7}-1}{2}\)
1 \(\frac{2}{\sqrt{7}-1}\) \(\frac{\sqrt{7}+1}{3}\) \(1+\frac{\sqrt{7}-2}{3}\)
1 \(\frac{3}{\sqrt{7}-2}\) \(2+\sqrt{7}\) 结果为：\([2;\overline{1,1,1,4}]\)

将上述算法一般化：设 \(k=[\,\sqrt{n}\,]\)，并令 \(n_c=n-c^2\)。

\[\sqrt{n}=\left[k;\frac{k+i_1}{n_k},\frac{i_1+i_2}{n_{i_1}/n_k},\cdots,\frac{i_{l-1}+i_l}{q},\frac{i_l+i_{l+1}}{n_l/q},\cdots\right] \]

其中，若求得 \(\frac{i_{l-1}+i_l}{q}\)，则取满足 \(i_{l+1}\leq k\) 的最大值，使 \(i_l+i_{l+1}\) 能被 \(n_l/q\) 整除。

如果考虑将 \(\frac{i+j}{q}=a \Rightarrow i-\frac{a}{q}-j\) 的形式，有：

\[\sqrt{n}=0-\frac{k}{1}-k-\frac{a_1}{n_k}-i_1-\frac{a_2}{q_1}-i_2-\frac{a_3}{q_2}-i_3-\cdots \]

其中，\(\frac{n_{i_1}}{n_k}=q_1,\,\frac{n_{i_2}}{q_1}=q_2,\cdots\)

3、渐近分数列

如下表所列，渐近分数常用于无理数的逼近。

表 3：连分数与渐近分数列

连分数 渐近分数列
\(\sqrt{2}\) \([1;\bar{2}]\) \(\frac{1}{1},\frac{3}{2},\frac{7}{5},\frac{17}{12},\cdots\)
\(\sqrt{7}\) \([2;\overline{1,1,1,4}]\) \(\frac{2}{1},\frac{3}{1},\frac{5}{2},\frac{8}{3},\cdots\)
\(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\) \([0;\bar{1}]\) \(\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{5},\frac{5}{8},\frac{8}{13},\cdots\)
\(\pi\) \([3;7,15,1,292,1,1,\cdots]\) \(\frac{3}{1},\frac{22}{7}\text{（约率）},\frac{333}{106},\frac{355}{113}\text{（密率）},\frac{103993}{33102},\cdots\)
\(\mathrm{e}\) \([2;1,2,1,\cdots,1,2k,1,\cdots]\) \(\frac{2}{1},\frac{3}{1},\frac{8}{3},\frac{11}{4},\frac{19}{7},\frac{53}{23},\cdots\)

数学上可以证明：由连分数得到的渐近分数，其值是在分子或分母小于下一个渐近分数的分数中，最接近精确值的近似值。

对渐进分数列 \(\\{\frac{p_i}{q_i},\,i\in \mathbb{N}^+\\}\)，有 \(\frac{p_1}{q_1}=\frac{a_0}{1},\frac{p_1}{q_1}=\frac{a_1a_0+1}{a_1}\)，其递推式为：

$$\begin{bmatrix}p_{i+1}\\q_{i+1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}p_i&p_{i-1}\\q_i&q_{i-1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{i}\\1\end{bmatrix}$$

显然，渐近分数列的奇数项小于原值，偶数项大于原值。

二、丢番图方程简介

丢番图方程 又名整系数多项式方程，其变量与系数均为整数。若一个丢番图方程具有以下的形式：

\[x^2 - ny^2= 1,\,\,\,x,y \in \mathbb{Z},\,n \in \mathbb{N}^+ \]

则称此二元二次不定方程为佩尔方程。

1、佩尔方程的解

  • 若 \(n\) 是完全平方数，佩尔方程只有平凡解 \((\pm 1, 0)\)。
  • 对于其余情况，拉格朗日证明了佩尔方程总有非平凡解，而这些解可由 \(\sqrt{n}\) 的连分数求出。

设 \(\\{\frac{p_i}{q_i}\\}\) 是 \(\sqrt{n}\) 的的渐近分数列，则存在 \(i\) 使得 \((p_i,q_i)\) 为佩尔方程的解。取 \(\min i\) 对应的 \((p_i,q_i)\) 作为佩尔方程的基本解（最小解），记作\((x_1,y_1)\)，则全部的非平凡解解 \(\\{x,y\\}\) 可表示为 \(x_i + y_i\sqrt n = (x_1 + y_1\sqrt n)^i\)，或由递推关系式求得：

$$\begin{bmatrix}x_{i+1}\\y_{i+1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1&ny_1\\y_1&x_1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{i}\\y_{i}\end{bmatrix}$$

规律：记 \(\sqrt{n}\) 的连分数循环节长度为 \(l\)。当 \(l\) 为偶数，\((p_l,q_l)\) 即是基本解；当 \(l\) 为奇数，\((p_{2l},q_{2l})\) 即是基本解。

Example：求 \(x^2 - 7y^2= 1\) 的解

由 \(\sqrt{7}\) 的渐近分数列 \(\\{\frac{p_i}{q_i}\\}=\frac{2}{1},\frac{3}{1},\frac{5}{2},\frac{8}{3},\cdots\)，求得 \(x^2 - 7y^2= 1\) 的基本解 \((8,3)\)，其所有非平凡解 $$\{x,y\}=(8,3),(127,48),(2024,765),(32257,12192),(514088,194307),(8193151,3096720),(130576328,49353213),\cdots$$

2、Diophantine Equation[2]

题意：求最小的非完全平方数 \(n\in(1,1000]\) 使佩尔方程 \(x^2 - ny^2= 1\) 的基本解 \(x_1\) 最大。

from math import *
def iqj(i0,q0,j0,d):
	i = j0
	q = (d - j0*j0)//q0
	max_num = j0 + floor(sqrt(d))
	j = max([x for x in range(max_num,0,-1) if x % q == 0]) - j0
	a = (i + j)//q
	return i,q,j,a
def pell (d,h,k):
	if h*h - d*k*k == 1:	return True
	else:		        return False 
def frac(d):
	i0 = 0
	q0 = 1
	j0 = floor(sqrt(d))
	a0 = (i0 + j0)//q0
	h0 = a0
	k0 = 1
	if pell(d,h0,k0):	return h0
	else:
		i0,q0,j0,a1=iqj(i0,q0,j0,d)
		h1 = a1*a0 + 1
		k1 = a1
		while(not pell(d,h1,k1)):
			i0,q0,j0,a=iqj(i0,q0,j0,d)
			h = a*h1 + h0
			k = a*k1 + k0
			h0,k0 = h1,k1
			h1,k1 = h,k
		return h1
mh = 0
ans = 0
for d in [i+1 for i in range(1000) if sqrt(i+1)!=int(sqrt(i+1))]:
	h = frac(d)
	if h > mh:
		mh = h
		ans = d
print(ans)

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