分组背包

先给出题目吧

通天之分组背包

题目背景

直达通天路·小 A 历险记第二篇

题目描述

自 \(01\) 背包问世之后，小 A 对此深感兴趣。一天，小 A 去远游，却发现他的背包不同于 \(01\) 背包，他的物品大致可分为 \(k\) 组，每组中的物品相互冲突，现在，他想知道最大的利用价值是多少。

输入格式

两个数 \(m,n\)，表示一共有 \(n\) 件物品，总重量为 \(m\)。

接下来 \(n\) 行，每行 \(3\) 个数 \(a_i,b_i,c_i\)，表示物品的重量，利用价值，所属组数。

输出格式

一个数，最大的利用价值。

样例 #1

样例输入 #1

45 3
10 10 1
10 5 1
50 400 2

样例输出 #1

10

提示

\(0 \leq m \leq 1000\)，\(1 \leq n \leq 1000\)，\(1\leq k\leq 100\)，\(a_i, b_i, c_i\) 在 int 范围内。

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这是多重背包的模板题
大意是：给你一个n组物品，每组选一个物品，放入背包，最大化价值并输出

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首先最基本的输入数据
我们定义sum[i]表示第i组物品的数量,v[i][j]即第i组物品第j个物品的重量，w同理为价值
其次关于状态的思考

dp如何定义

我们定义dp[i][j]表示前i组物品，背包容量为j时的最大价值
根据0/1背包，我们很容易发现两者dp一样的
同理外层循环亦是一样的
for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=0;j<=m;j++)
接下来我们考虑第三层
第三层应该是物品的循环
即 for(int k=1;k<=sum[i];k++)

如何进行状态转移

对于dp[i][j]我们发现，这个物品要么选要么不选，和0/1背包一样
但只能选一个
dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j-v[i][k]]+w[i][k]);
这是状态转移方程

解释该方程

首先dp[i][j]为不取的情况。
i不用-1是因为dp[i][j]同样是一组内其他物品所计算的最大价值（公用的），不选就是把这个dp给其他物品的最大价值。
后面那个就不用解释了吧！🙂

代码

简单，略

优化

注意到dp[i]仅与dp[i-1]有关，所以滚动数组，同0/1优化
见上一篇blog

优化代码

略（题解够多了）

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完结散花 ❀ ❀ ❀ ❀ ❀