DP-背包问题-0/1背包
第一次写blog，不好见谅！
今天主要记录在学习背包时的感想以及个人理解。
0/1背包
疯狂的采药
题目背景
此题为纪念 LiYuxiang 而生。
题目描述
LiYuxiang 是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同种类的草药，采每一种都需要一些时间，每一种也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
如果你是 LiYuxiang，你能完成这个任务吗？
此题和原题的不同点：
\(1\). 每种草药可以无限制地疯狂采摘。
\(2\). 药的种类眼花缭乱，采药时间好长好长啊！师傅等得菊花都谢了！
输入格式
输入第一行有两个整数，分别代表总共能够用来采药的时间 \(t\) 和代表山洞里的草药的数目 \(m\)。
第 \(2\) 到第 \((m + 1)\) 行，每行两个整数，第 \((i + 1)\) 行的整数 \(a_i, b_i\) 分别表示采摘第 \(i\) 种草药的时间和该草药的价值。
输出格式
输出一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。
样例 #1
样例输入 #1
70 3
71 100
69 1
1 2
样例输出 #1
140
提示
数据规模与约定
- 对于 \(30\%\) 的数据，保证 \(m \le 10^3\) 。
- 对于 \(100\%\) 的数据，保证 \(1 \leq m \le 10^4\)，\(1 \leq t \leq 10^7\)，且 \(1 \leq m \times t \leq 10^7\)，\(1 \leq a_i, b_i \leq 10^4\)。
选自P1616 疯狂的采药 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
对于动态规划而言，背包问题是经典问题
某些人（包括我）刚开始看题目是很懵逼的，不知道为什么题解这么写
但是正如动态规划的状态的定义
状态：状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称为不可控因素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置，它既是该阶段某路的起点，同时又是前一阶段某支路的终点
选自：百度百科
它是不可控的，但是它可以通过推导得到。
即它可以从过去的状态推导出来。
状态的这个性质意味着过程的历史只能通过当前的状态去影响它的未来的发展，这个性质称为无后效性。
用人话讲我们不关心某个状态之前是怎样得到的，比方斐波那契数列。
我们并不想知道fib(n-1)和fib(n-2)的推导过程。我们只关心如何通过它们推导出当前状态，
即fib(n)是多少。这个答案是明显的。
接下来我们来思考0/1背包的状态是什么，作为板子题，我们直说：
状态就是选不选这件物品。
既然这样，正常人可能会给出这样的定义dp[i]
其中dp[i]表示前i件物品能够取到的最大价值
对dp[i]的分类讨论即选与不选。
但经过本蒟蒻的思考发现，根本没用。
因为你无法得知 如果选择这个物品 之前的状态是什么，换句话说一维开少了
不足以概括所有状态
于是就有了正解：
我们令dp[i][j]表示前i件物品背包容量为j时的最大价值。
现在就可以对它进行分类讨论了。
1、取这个物品：
明显的，它的上一个状态一定是dp[i-1]
现在考虑j
我们知道此时背包容量为j且能够装下一个体积为v[i]的物品，容易得到，最优时的j为
[j-v[i]]
于是此时dp[i][j]=dp[i-1][j-v[i]]+w[i]
2、装不下这个物品：
易得最优情况dp[i][j]=dp[i-1][j]。
3、不拿这个物品 同二
于是我们所谓的状态转移方程就出来了：
能装下（包含不取的情况）：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[j])
不能装下：dp[i][j] = dp[i - 1][j]
这个方程实际上就是上面说的“我们只关心如何通过它们推导出当前状态”的方法
代码不贴了😊题解一大堆。
接下来考虑优化
或许有人对它们感到毫无头绪，看着一大堆题解的图手推不想推，想又想不通
不如从方程出发
我们发现dp[i]只与dp[i-1]有关
不如就保存一维。
经典题解说法是倒序遍历
为什么？
最小到大遍历，你先更新小的，如果大的恰好有dp[j-v[i]]与之前已经更新的小的下标重合怎么办？所以我们要保证大的先更新，你不可能写出dp[j+v[i]]这样的东西去和大的比。
这便是倒序遍历的原因所在。
代码题解都有（不是我懒）
完结散花🌼🌼🌼🌼！！
