摘要：
归纳每一次操作后必然是两个颜色相同的连续段（即ww...bb...或bb...ww...），对操作的位置分类讨论不难证明正确性 当$c_{1}=c_{n}$，由于端点颜色不会修改，再根据该结论，可以得到$f(s,c_{i})=c_{1}\cdot n$（w为0，b为$n$） 当$c_{1}\ne c 阅读全文
摘要：
构造一个数组$b_{i}$（初始为0），对于操作$[l_{i},r_{i}]$，令$b_{l_{i}}$和$b_{r_{i}+1}$值异或1，表示$i$和$i-1$的差值发生改变，最终即要求若干个$b_{i}$为1，其余为0 对于一组合法方案，通过重新排列操作的顺序，使得每一次操作都有至少一个修改是 阅读全文
摘要：
首先，容易证明满足条件的$ip_{i}$必然是一个前缀 将其看成一张二分图，$i$向满足$ip_{i}<xy$的$p_{i}$连边，即找到一个前缀满足其有完美匹配 二分枚举前缀长度$k$，根据hall定理，即要求$\forall S\in [1,k],\lfloor\frac{xy-1}{\min_ 阅读全文
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考虑$s$能变成$t$的必要条件（假设$s\ne t$）： 1.$s$中存在一对相邻字符不同 2.$|s|=|t|$且若将a-c对应为0-2，则字符模3同余； 3.$t$中存在一对相邻两个字符相同 同时，对于$|s|\ge 4$，这个充分条件也是必要条件，证明如下： 归纳，对于$|s|=4$暴力验证 阅读全文
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先建一个$S$和$T$，$\forall 1\le i\le n$连边$(S,i)$和$(i,T)$，则最长路即为$S到T的最长路-2$ 对于这张DAG，求出一个拓扑序，点$i$为第$i$个（特别的，$id_{S}=0$且$id_{T}=n+1$），根据拓扑序的性质，对于一条路径，其$id$必然单调 阅读全文
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由于$\mu(i)$，因此每一个素数最多存在1次，当$k=0$答案必然为0 根据莫比乌斯和欧拉函数的积性，答案与对素数的划分无关，仅与每一个素数是否出现有关，换言之枚举素数出现的集合$P'$，答案即为$\sum_{P'\subseteq P}(-1)^{|P'|}div(|P'|)\prod_{p\ 阅读全文
摘要：
先对每一个求sg函数，暴力复杂度为$o(m^{2})$ 取$k$满足$2^{k}\le x<2^{k+1}$（即$x$二进制下的最高位），考虑$y$与$2^{k}$的关系 1.若$1\le y<2^{k}$，那么必然有$1\le y\le x$，因此仅要求$0\le (x\oplus y)<x$ 由 阅读全文
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结论：若$a_{n}-a_{1}\ge a_{2}$，那么一定会吃掉 证明：分类讨论，若$a_{n-1}$也吃掉了$a_{2}$，就说明$a_{n-1}$之后不会被吃掉，而$a_{n-1}-a_{2}\le a_{n}-a_{1}$，因此$a_{n}$也不会被吃掉；若$a_{n-1}$不吃$a_{2 阅读全文
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答案即区间$[l,r]$的笛卡尔树上，左右子树有一个为空的点到根路径和（定义此为的该点答案）的max， 对求区间笛卡尔树复杂度为$o(n)$，无法通过，因此在全局笛卡尔树中考虑此问题 设$k$为$l$和$r$的lca，那么$i$的答案就是$i$到$k$路径中在$[l,r]$中的部分的和 对于$i$所 阅读全文
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由于每一个操作的逆操作都存在，可以看作将$a_{i}$全部变为0的代价 先考虑第一个问题，即对于确定的$a_{i}$如何处理 如果仅能用第2种操作，定义点$i$的代价为以$i$为左端点或以$i-1$为右端点的的操作数，考虑一个代价的意义，即改变$i-1$和$i$的差值，因此$ans\ge C\sum 阅读全文
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记操作序列为$S$，令$h(S)\equiv \sum_{i}a_{i}x^{i}(mod\ p)$（其中$a_{i}$为操作后的结果） （以下我们将$S$看作字符串，相邻即拼接操作） 对于操作，有$h(1S)=xh(S)$，$h(3S)=h(S)+1$（另外两种操作类似），这可以看作一个函数，即定 阅读全文
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考虑这张图的反图，相当于这两个集合内部没有边，这也就是二分图的限制 换言之，我们要将这张图黑白染色（不能则为-1），$x$即为某种颜色的数个数 对于一个联通块，记连通块大小为$sz$，则白色点个数为$w$或$sz-w$（交换两种颜色） 背包转移即可，时间复杂度为$o(n^{2})$，可以通过此题 1 阅读全文
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贪心，一定在最后一次经过某节点时付出$b_{u}$，条件是付出后$W\ge \max(a_{i}-b_{i},0)$（同时也可以仅考虑这个限制，因为$W$在过程中不会增大） 假设“最后一次经过”的顺序为$p_{1},p_{2},...,p_{n}$，则要保证存在$p_{i}$到$p_{i+1}$的路 阅读全文
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给定一棵有根树，记$f_{i}$表示$i$的父亲，每一个点有一个代价$c_{i}$ 给定常数$D$和$X$，再给每个点赋一个权值$v_{i}$（$v_{i}\ge 0$），满足以下条件下最大化$\sum_{i=1}^{n}v_{i}$ 条件：1.$\forall 2\le i\le n,v_{f_{ 阅读全文
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先建出AC自动机，即求其fail树上，$s_{l},s_{l+1},...,s_{r}$这些串的位置的子树中有多少个$k$的前缀 对$[l,r]$区间分块（设块大小为$k$），询问分为块内和块外两部分： 对于块内，直接统计每一个块对每一个$s_{k}$的答案，枚举每一个块，问题可以看作对于每一个$k 阅读全文
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有一个结论，答案一定是所有包含其合法区间中$l$最大且$r$最小的 证明比较容易，考虑两个合法区间有交，那么交必然合法，同时交也必然包含该区间，因此这个区间一定是合法的（取$l$最大的和$r$最小的两个区间求交）且必然最小 将询问离线，类似于[cf997E][https://www.cnblogs. 阅读全文
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令$f(x)=\frac{x}{\max_{k^{2}|x}k^{2}}$，最优解即将$f(l),f(l+1),...,f(r)$排序，那么每存在一种不同的数则答案减1，那么$x$出现当且仅当$f(x)=x$且存在$k$满足$l\le xk^{2}\le r$ 枚举$k$，那么即求$(\lfloor 阅读全文
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考虑哈希，令$h[x]$表示根到$x$路径的哈希值，那么有$h[x]+hash(l,r)=h[ans]$ 考虑用线段树维护$a_{i}$的区间哈希值，并用map去找到对应的$ans$ 但还有一个问题，就是并不一定都能走完，可以在线段树上二分走到哪里，时间复杂度为$o(n\log^{2}n)$ 1 # 阅读全文
摘要：
定义以$i$为中心（交换$p_{i-1}$和$p_{i+1}$）的操作为操作$i$ 结论1：若执行过操作$i$，则之后任意时刻都无法执行操作$i-1$或操作$i+1$ 当执行操作$i$后，必然有$p_{i-1}<p_{i}$，然后不妨假设下一次与$i$相邻的操作为$i-1$（$i+1$类似） 操作$ 阅读全文
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给定$n$个数$d_{i}$，构造一棵$n$个点的树使得$\forall 1\le i\le n,\sum_{j=1}^{n}dist(i,j)=d_{i}$ 其中$dist(i,j)$表示$i$到$j$的路径上所经过的边数，若无解输出-1 $2\le n\le 10^{5}$，$1\le d_{i 阅读全文
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令$f(E')$表示强制$E'$中的边不被覆盖的方案数，根据容斥，$ans=\sum_{E'\subseteq E}(-1)^{|E'|}f(E')$ 对于给定的$E'$，$f(E')$即将$E'$中所有边删除，连通块内部的匹配方案数乘积：若连通块大小为奇数，则必然为0；若连通块大小为偶数，设为$2 阅读全文
摘要：
每一个点一定匹配其左边/右边的第一个出口（在最左/右边的出口左/右边的点直接删除即可），否则记到左右出口的距离分别为$x_{i}$和$y_{i}$ 令$p_{i}$表示$i$匹配的出口（左0右1），结论：存在不合法当且仅当$p_{i}=0$、$p_{j}=1$、$x_{i}\ge x_{j}$且$y 阅读全文
摘要：
考虑求任意序列中$a$出现次数之和减去不合法序列中$a$出现次数之和，前者即为$(n-m+1)k^{n-m}$（一个序列重复次数恰好为$a$出现次数），对于后者，先忽略$a$的次数，即统计有多少个不合法序列 考虑dp，令$f[i][j]$表示前$i$个数，后$j$个数各不相同（且后$j+1$个数存在 阅读全文
摘要：
合法的必要条件是每个点两维坐标和奇偶性相同，同时这也是充分条件 令$d_{i}=\{2^{0},2^{1},...,2^{m-1}\}$，归纳其可以走到任意满足$|x|+|y|<2^{m}$的$(x,y)$，考虑先确定其最后一步，即对于$|x|+|y|<2^{m+1}$，通过$d=2^{m}$使其走 阅读全文
摘要：
价值即等价于给每一个点系数$p_{i}=\pm 1$，使得$\forall (x,y)\in E,p_{x}=p_{y}$的最大的$\sum_{i=1}^{n}p_{i}b_{i}$ 如果没有删除（当然可以直接求绝对值），考虑网络流建图：将$b_{i}$分为正负两类，$S$向正的连$2b_{i}$的 阅读全文