2022 年 2月随笔档案 - PYWBKTDA

摘要：将所有

a_{i}

$a_{i}$ 在二进制下展开，得到一个

n \times m

$n\times m$ 的01矩阵对该矩阵做高斯消元（显然不影响结果），并要求得到如下的形式$$\left|\begin{array}{ll}1&0&0&\cdots&0&\cdots\\0&1&0&\cdots&0&\cdots\\0&0&1&\cdot 阅读全文

posted @ 2022-02-27 15:22 PYWBKTDA 阅读(65) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[luogu4156]论战捆竹竿

摘要：考虑每一次增加的长度，显然是形如

n - b o r d e r

$n-border$ ，同时总可以取到换言之，记

a_{i}

$a_{i}$ 为所有

n - b o r d e r

$n-border$ 的值，问题即求有多少个

l \in [0, w - n]

$l\in [0,w-n]$ 使得

\exists x_{i} \in N^{}, \sum_{i = 1}^{m} a_{i} x_{i} = l

$\exists x_{i}\in N^{},\sum_{i=1}^{m}a_{i}x_{i}=l$ 根据border的性质，阅读全文

posted @ 2022-02-26 13:45 PYWBKTDA 阅读(63) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[gym102979H]Hotspot-2

摘要：记

Δ x_{i} = x_{i + 1} - x_{i}

$\Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}$ ，并定义

Δ x_{0} = Δ x_{n} = \infty

$\Delta x_{0}=\Delta x_{n}=\infty$ 以

i

$i$ 为右端点，记$rs_{j}=\begin{cases}\min(\Delta x_{i},\Delta x_{i-1})&j=i\\ \Delta x_{j 阅读全文

posted @ 2022-02-25 16:11 PYWBKTDA 阅读(143) 评论(1) 推荐(0) 编辑

[atARC135F]Delete 1,4,7,...

摘要：记

n_{k}

$n_{k}$ 表示经过

k

$k$ 轮操作后的元素个数，显然

n_{k} = ⌊ \frac{2 n_{k - 1}}{3} ⌋

$n_{k}=\lfloor\frac{2n_{k-1}}{3}\rfloor$ （初始

n_{0} = n

$n_{0}=n$ ）记

f^{k} (i)

$f^{k}(i)$ 表示

k

$k$ 轮操作后的第

i

$i$ 个元素在操作前的位置，显然$f^{k}(i)=\lceil\frac{3f^{k-1}( 阅读全文

posted @ 2022-02-24 15:58 PYWBKTDA 阅读(119) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[cf1034E]Little C Loves 3 III

摘要：记

c n t (x)

$cnt(x)$ 为

x

$x$ 在二进制下1的个数，构造

A_{i} = 4^{c n t (i)} a_{i}, B_{j} = 4^{c n t (j)} b_{j}

$A_{i}=4^{cnt(i)}a_{i},B_{j}=4^{cnt(j)}b_{j}$ ，将两者FWT得到

C_{k} = \sum_{i | j = k} A_{i} B_{j}

$C_{k}=\sum_{i|j=k}A_{i}B_{j}$ 注意到

i & j = 0 ⟺ c n t (i) + c n t (j) \leq c n t (k)

$i\&j=0\iff cnt(i)+cnt(j)\le cnt(k)$ （阅读全文

posted @ 2022-02-22 16:19 PYWBKTDA 阅读(43) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[cf1463F]Max Correct Set

摘要：记

l = a + b, P_{i}

$l=a+b,P_{i}$ 表示

i

$i$ 是否被选入

S

$S$ ，则有以下结论—— 结论1：若

P_{i} = P_{i + l}

$P_{i}=P_{i+l}$ 且

S_{0} = {i ∣ 1 \leq i \leq l, P_{i} = 1}

$S_{0}=\{i\mid 1\le i\le l,P_{i}=1\}$ 合法，则

S

$S$ 也合法反证法，若存在

x, y \in S

$x,y\in S$ 使得

| x - y | = a

$|x-y|=a$ 或

b

$b$ ，不妨假设

x < y

$x<y$ 设阅读全文

posted @ 2022-02-22 16:12 PYWBKTDA 阅读(52) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[uoj84]水题走四方

摘要：瞬移后无法区分两者，分开时不妨称下一次瞬移的为分身，即仅允许分身瞬移回本身考虑本身，即从根节点出发向下移动的一条路径，并称路径上分身曾瞬移到的点为关键节点（包括根节点）对关键节点dp，定义

f_{k}

$f_{k}$ 表示当前两者均在

k

$k$ 且

k

$k$ 子树外所有点均被经过的最短时间枚举上一个关键节点，分析两者的移阅读全文

posted @ 2022-02-22 12:40 PYWBKTDA 阅读(51) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj6797]QC QC

摘要：性质1：若向

i

$i$ 询问

j

$j$ 的结果为0，则

i

$i$ 和

j

$j$ 中至少有一个机器故障性质2：若

i

$i$ 和

j

$j$ 相互询问的结果均为1，则

i

$i$ 和

j

$j$ 故障状态必然相同将

n

$n$ 台机器分为若干非空等价类（同一个等价类中故障状态相同），将这些等价类分为三组：对于第1组等价类，假设有

n_{1}

$n_{1}$ 个，分别记作$S 阅读全文

posted @ 2022-02-21 21:22 PYWBKTDA 阅读(149) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj3653]抽奖机

摘要：用

n

$n$ 位三进制数描述状态，记

F_{S} = \sum_{i = 1}^{m} [a_{i} = x, b_{i} = y]

$F_{S}=\sum_{i=1}^{m}[a_{i}=x,b_{i}=y]$ （其中

x

$x$ 和

y

$y$ 分别为

S

$S$ 在三进制下1和2的个数）定义

x \oplus y

$x\oplus y$ 为

x

$x$ 和

y

$y$ 在三进制下执行不进位加法的结果

, ⊙

$,\odot$ 为

\oplus

$\oplus$ 对应的卷积，问题即求$F\ 阅读全文

posted @ 2022-02-20 19:10 PYWBKTDA 阅读(103) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj3626]愚蠢的在线法官

摘要：交换

a_{x}

$a_{x}$ 和

a_{y}

$a_{y}$ 会同时交换行列式的两行和两列，不改变行列式的值，不妨将

a_{i}

$a_{i}$ 按照dfs序排序此时，

k

$k$ 子树内的

a_{i}

$a_{i}$ 构成连续区间，设其为区间

[l_{k}, r_{k}]

$[l_{k},r_{k}]$ ，并记录

a_{[l_{k}, r_{k}]}

$a_{[l_{k},r_{k}]}$ 所对应的行列式考虑转移，将$[l_{k},r 阅读全文

posted @ 2022-02-18 16:05 PYWBKTDA 阅读(273) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj3640]细菌

摘要：将过程逆序，问题即转换为以下形式—— 从

(a, b, c)

$(a,b,c)$ 出发，每步移动到周围六个格子之一，求

d

$d$ 步内不离开长方体的方案数显然每一维可以通过生成函数合并，不妨仅考虑其中一维，问题也即从

(0, a)

$(0,a)$ 出发，每步移动到右上/右下的格子，

\forall 0 \leq i \leq d

$\forall 0\le i\le d$ 求

i

$i$ 步内与$y= 阅读全文

posted @ 2022-02-18 08:52 PYWBKTDA 阅读(111) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[ccPBOXES]Pretty Boxes

摘要：将其按照

(S_{i}, P_{i})

$(S_{i},P_{i})$ 递增排序，此时问题即选择

k

$k$ 对括号并最大化

\sum_{i \in R} P_{i} - \sum_{i \in L} P_{i}

$\sum_{i\in R}P_{i}-\sum_{i\in L}P_{i}$ 结论：对于

k

$k$ 时的最优选法

(L_{k}, R_{k})

$(L_{k},R_{k})$ ，存在

k + 1

$k+1$ 时的最优选法

(L_{k + 1}, R_{k + 1})

$(L_{k+1},R_{k+1})$ 满足$L_{k 阅读全文

posted @ 2022-02-16 19:50 PYWBKTDA 阅读(51) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj2157]避雷针

摘要：不难发现，问题即求

\forall 1 \leq i \leq n, max_{1 \leq j \leq n} h_{j} + \sqrt{| i - j |} - h_{i}

$\forall 1\le i\le n,\max_{1\le j\le n}h_{j}+\sqrt{|i-j|}-h_{i}$ 其中

h_{i}

$h_{i}$ 是常数，并将

j

$j$ 分为

< i

$<i$ 和

j >

$j>$ 两部分分别处理（以下以前者为例）构造函数$g_{j}(x)=h_{j}+\sqrt{x-j} 阅读全文

posted @ 2022-02-15 19:32 PYWBKTDA 阅读(125) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj2991]香山的树

摘要：对每一位依次确定，问题即求长度不超过

n

$n$ 且以

t

$t$ 为前缀的合法串数考虑其中一个串

s

$s$ ，由于

s

$s$ 以

t

$t$ 为前缀，对于

s

$s$ 的任意子串

s^{'}

$s'$ ，显然均有

t < s^{'}

$t<s'$ 或

s^{'}

$s'$ 是

t

$t$ 的前缀称满足上述性质的非循环串为半合法串，考虑一个出现了

c n t

$cnt$ 次

t

$t$ 的半合法串，将其旋转到所有以

t

$t$ 为开阅读全文

posted @ 2022-02-15 16:46 PYWBKTDA 阅读(99) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atARC135D]Add to Square

摘要：结论1：矩阵

B

$B$ 能被得到当且仅当满足以下条件—— 1.

\forall i \geq 2, \sum_{j = 1}^{W} (- 1)^{i + j} A_{i, j} = \sum_{j = 1}^{W} (- 1)^{i + j} B_{i, j}

$\forall i\ge 2,\sum_{j=1}^{W}(-1)^{i+j}A_{i,j}=\sum_{j=1}^{W}(-1)^{i+j}B_{i,j}$ 2.$\forall j\ge 2,\sum_{i=1}^{H}(-1)^{i+j 阅读全文

posted @ 2022-02-15 09:16 PYWBKTDA 阅读(180) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[cf1483F]Exam

摘要：对于字符串

s_{i}

$s_{i}$ ，考虑（作为

s_{i}

$s_{i}$ 的子串）与

s_{i}

$s_{i}$ 有贡献的

s_{j}

$s_{j}$ 枚举

s_{i}

$s_{i}$ 的前缀

t

$t$ ，考虑所有是

t

$t$ 后缀的

s_{j}

$s_{j}$ ，显然仅有其中最长的可能有贡献建立ac自动机，那么

s_{j}

$s_{j}$ 即该前缀跳fail指针时第一个结束节点，可以预处理出同时，注意到$ 阅读全文

posted @ 2022-02-14 19:09 PYWBKTDA 阅读(54) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj6696]复读机加强版

摘要：记

f (x) = \sum_{d ∣ i} \frac{x^{i}}{i!}

$f(x)=\sum_{d\mid i}\frac{x^{i}}{i!}$ ，那么问题即求

n! [x^{n}] f^{k} (x)

$n![x^{n}]f^{k}(x)$ 记

ω

$\omega$ 为

d

$d$ 次单位根，根据单位根反演有$$f(x)=\sum_{i\ge 0}\frac{\sum_{j=0}^{d-1}\omega^{ij}}{d}\f 阅读全文

posted @ 2022-02-11 21:46 PYWBKTDA 阅读(142) 评论(0) 推荐(1) 编辑

[loj3561]The short shank; Redemption

摘要：记

L_{i} = max_{1 \leq j < i, t_{j} + (i - j) \leq T} j

$L_{i}=\max_{1\le j<i,t_{j}+(i-j)\le T}j$ ，那么第

i

$i$ 个人不越狱当且仅当

\exists L_{i} \leq k < i

$\exists L_{i}\le k<i$ 使得

k

$k$ 上放了床垫换言之，即在

D

$D$ 个位置放床垫，并最大化

[L_{i}, i)

$[L_{i},i)$ 内存在床垫的

i

$i$ 数量注意到不存在$L_{i}<L_{ 阅读全文

posted @ 2022-02-06 17:30 PYWBKTDA 阅读(153) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj3562]The Collection Game

摘要：记

a_{i}

$a_{i}$ 为第

i

$i$ 个展馆的艺术价值，问题即求排列

i d_{1}, i d_{2}, . . ., i d_{n}

$id_{1},id_{2},...,id_{n}$ 使得

\forall 1 \leq i \leq n, a_{i d_{i}}

$\forall 1\le i\le n,a_{id_{i}}$ 单调递增定义操作

s w a p (i, j)

$swap(i,j)$ 表示调用

s c h e d u l e (i d_{i}, i d_{j})

$schedule(id_{i},id_{j})$ ，并在其返回0时（即$a_ 阅读全文

posted @ 2022-02-06 17:19 PYWBKTDA 阅读(81) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[cf1616G]Just Add an Edge

摘要：记边集为

E

$E$ ，新建点

0

$0$ 向

[1, n]

$[1,n]$ 连边

, n + 1

$,n+1$ 从

[1, n]

$[1,n]$ 连边，以此确定起点和终点若初始

\forall 0 \leq i \leq n, (i, i + 1) \in E

$\forall 0\le i\le n,(i,i+1)\in E$ ，显然答案即

(\binom{n}{2})

${n\choose 2}$ ，不妨特判此类情况此时考虑加入

(x, y)

$(x,y)$ 后能否合法，不难证明路径必然为以下形式阅读全文

posted @ 2022-02-05 20:36 PYWBKTDA 阅读(63) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atARC134F]Flipping Coins

摘要：对于

i \geq P_{i}

$i\ge P_{i}$ 的位置，由于

P_{i}

$P_{i}$ 此时正面向下，因此操作

i

$i$ 并不会改变

k

$k$ ，不妨撤销此类操作另外，对于满足

P_{j} = i

$P_{j}=i$ 的操作

j

$j$ ，若

j < i

$j<i$ 则已经操作

, j > i

$,j>i$ 则也被撤销，因此不影响综上，仅对

i < P_{i}

$i<P_{i}$ 建边

(i, P_{i})

$(i,P_{i})$ ，那么

k

$k$ 即为其中长度阅读全文

posted @ 2022-02-04 18:48 PYWBKTDA 阅读(163) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atARC134E]Modulo Nim

摘要：显然不关心于其中的0和重复数字，因此状态可以被描述为正整数集合

S

$S$ 结论：先手必败的必要条件为

S = {1}, {2}, {4, 8}

$S=\{1\},\{2\},\{4,8\}$ 或

\forall x \in S, 12 ∣ x

$\forall x\in S,12\mid x$ 特判

max S \leq 2

$\max S\le 2$ 的情况，显然仅有

S = {1}

$S=\{1\}$ 或

{2}

$\{2\}$ 时先手必败考虑操作$m 阅读全文

posted @ 2022-02-02 11:02 PYWBKTDA 阅读(169) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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