11 2021 档案
摘要：记$b_{i}=a_{i+1}-a_{i}$，不难发现对$i$操作即是交换$b_{i-1}$和$b_{i}$，若干次操作也即对$b_{i}$重新排列 实际上，方差也即$\min_{x}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(a_{i}-x)^{2}$（展开后可得$x=\frac{1}{n
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摘要：注意到$A$中极差不超过1，不妨用二元组$(l,\{x\mid A_{x}<l\})$来描述$A$（其中$l=\max A_{i}$） 从$(l,S)$的角度考虑，显然限制即$l=2,S=\empty$或$3\le l\le m,S\subset [1,n]$ 关于前者，可以简单构造，不难发现其总是
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摘要：记$mn_{x}$为$x$所有素因子乘积（约定$mn_{1}=1$），并构造集合$S=\{x\mid x\in \Z[1,c],x=mn_{x}\}$ 显然仅需询问$S$中的数，打表可得$|S|\le \lceil 0.65 c\rceil$，并记询问$x$的结果为$g(x)$ 对于$mn_{x}$
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摘要：记初始序列为$a_{i}$，答案序列为$b_{i}$（显然唯一），考虑如何求出$b_{i}$ 引理1：$b_{i}$具有凸性（下凸） 考虑反证，若$b_{i}$不具有凸性，即存在$2b_{i}>b_{i-1}+b_{i+1}$，那么操作$(i-1,i,i+1)$也即可使得$b_{x}$减小，与最小性
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摘要：记$\Delta x=x_{2}-x_{1}+1$（$\Delta y$类似），周长即$2(\Delta x+\Delta y-2)$ 记$f(d)$为询问所有满足$d\mid i$的点$(i,j)$的结果，显然$f(d)=(\lfloor\frac{x_{2}}{d}\rfloor-\lfloor
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摘要：假设每一次方向变化时（包括结束时）所抓的最后一个人位置（绝对值）依次为$a_{1},a_{2},...,a_{k}$，则不难得到答案为$a_{k}+\sum_{i=1}^{k-1}(3^{k-i}+3^{k-i-1})a_{i}$ 另外，$a_{1},a_{2},...,a_{k}$必然是左右交替的
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摘要：记$pos_{i,j}$表示第$i$种颜色的第$j$个点，考虑如下构造—— 将所有颜色$pos_{i,2}$从小到大排序，并对前$\lceil\frac{n}{k-1}\rceil$种颜色选$[pos_{i,1},pos_{i,2}]$作为其区间 将剩下的颜色按$pos_{i,3}$从小到大排序，并
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摘要：考虑最小割，具体建图如下—— 对变量$x_{i}$建立$m-1$个点，依次记作$V_{i,1},V_{i,2},...,V_{i,m-1}$，并定义$V_{i,0}=S,V_{i,m}=T$ 再建立$m$条边，第$j$条边为$(V_{i,j-1},V_{i,j},C_{i,j})$，割掉即表示选$A
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摘要：对于原网格图，将所有附加点顺次连接，并对这个封闭区域建立对偶图 为了避免误解，下面给出样例1的例子： 另外，称分割点指（对偶图中）在原网格图外的点，如例子中即为3'和4' 从原图的角度，问题即将所有点黑白染色（附加点颜色给定），并最小化两种颜色间的边权和 考虑染色后，仅保留其中的白点（以及之间的边）
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摘要：对于有向图$G$和起点$s$，有以下定义和性质—— 为了方便，不妨假设$s$能到达$G$中所有点，并任意建立一棵以$s$为根的dfs树，以下节点比较默认均按照两点在这棵dfs树上的dfs序 支配点：$x$是$t$的支配点当且仅当将$x$以及相关的边删除后，不存在$s$到$t$的路径，也称作$x$支配
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摘要：为了方便，不妨假设$a_{i}\le b_{i}$，并将问题转换为以下形式： $\forall 1\le i\le m$，将$[a_{i},b_{i})$或$[1,a_{i})\cup [b_{i},n]$覆盖共$c_{i}$次，最小化覆盖次数最多的位置 考虑先全部覆盖$[a_{i},b_{i})$
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摘要：为了方便，下文中的$n$是原来的$\frac{n}{2}$ 当确定排列$\{p_{i}\}$后，将$a_{i}$按照$p_{i}$从大到小排序，那么机器人即会不断选第一个元素 考虑玩家最后选择的$n$个元素，合法当且仅当$\forall 1\le i\le n,$其在前$2i$个元素至多选$i$个元
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摘要：显然，有以下三个性质（思路）： 1.烟花传递总是在烟花将要燃尽时将烟花恰传给另一个人 2.烟花不燃烧的人总是向烟花正在燃烧的人靠拢，并且重合后会一直跟着（燃尽时替上） 3.烟花正在燃烧的人总是向下一个"跟着"的人靠拢（等着不如接上后返回） 此时，过程完全由"跟着"的顺序决定（思考一下如何决定？），也
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摘要：将右侧$n$个点逆序排列，并将左侧的第$i$个点插入到右侧的$a_{i}$之前（左侧的点顺序任意） 换言之，一个左侧的点恰与（排列中）其之后所有右侧的点有边 对于一个简单环，仅保留（排列中）前$i$个点的以及之间的边，那么总会得到若干条链或一个环，而其中所有链的两个端点必然都在左侧（否则这个右侧的点
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摘要：对于$w$的表示方案，可以用序列描述，即$x_{i}$表示第$i$种货币的数量 贪心策略得到的方案即是（对应序列）字典序最大的方案，并定义最优策略得到的方案为在最小化货币总数的基础上，（对应序列）字典序最大的方案 记$g_{w}$和$f_{w}$分别为贪心和最优策略下$w$的表示方案，问题即求最小的
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摘要：将第$i$个字符在$A->C->B->A$这个环上操作$i$次，而此时的操作也即将$AAA,BBB$或$CCC$变为其中的另一个字符串 通过操作$XXXY->YYYY->YXXX$，即可以将$XXX$向右移动一位，同时其还可以变为任意字符，那么不妨将其删除并在最后（任意位置）插入一个形如$XXX$的
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摘要：考虑原图是一条链的情况—— 思路：随机一个点$x$，将其所在段（边集）再划分为两段，重复此过程即可得到该链 实现上，（从左到右）维护每一段的左端点和边集，二分找到最后一个删除后$x$到根不连通的段，那么其即是$x$所在段，再暴力枚举段中每一条边划分即可 前者二分显然为$o(n\log n)$，后者即
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