10 2021 档案
摘要:考虑使用平衡树维护该序列,操作显然可以用fhq treap的分裂+合并来实现 进一步的,问题即变为维护哪些信息来支持push up的操作(并判定是否存在ai<aj<ak),容易想到去维护区间最大值/最小值、最大的ai/最小的aj满足存在$a_{i}<a_{j
阅读全文
摘要:注意到当操作确定后,显然操作顺序总是涂黑色的1操作->涂白色的1操作->2操作 用b/wr/c(i,j)表示(i,j)是否被黑色/白色 横着/竖着 涂过(1表示涂过,0表示没有),注意到当这些信息被确定后,已经可以确定是否可行以及对应的代价 具体的,考虑一个格子(i,j),对其进行
阅读全文
摘要:若(i,j)∈E,实际上会不断推出(pi,pj)∈E,(ppi,ppj)∈E,... 考虑将i向pi连边得到了一张(由若干个环组成的)有向图,则(i,j)∈E有以下两个必要条件: 1.若i和j在同一个环中,
阅读全文
摘要:令fi,j,k表示前i个位置,三种字符最后一次出现的位置为i,j和k(保证k<j<i)的方案数 考虑转移(递推),即分为两步—— 1.填写第i个字符,即从fi−1,j,k转移到fi,j,k,fi,i−1,j或fi,i−1,k 2.考虑
阅读全文
摘要:考虑树的情况,将其以任意一点为根建树 对于每一个节点,考虑其要与父亲操作几次才能使子树内均为黑色,这可以用形如(0/1,x)的二元组来描述,其中0/1即表示其要求操作时父亲是白色/黑色且要操作x次 考虑一个叶子,其二元组显然为(0,1),接下来每一个点即可以交替将儿子中的$(0/1,x)
阅读全文
摘要:为了方便,称患有懒癌的狗为"坏狗" 记Qi为第i个人能观察的狗集合,S为坏狗集合,那么第k天第i个人能得到的信息有且仅有S≠∅、S∩Qi、前k−1天没有开枪,而如果不存在S0具有相同的信息且i∉S0
阅读全文
摘要:记P为[1,n]中所有素数构成的集合,g(n)为n所有素因子乘积(特别的,g(1)=1) 对于一个合法排列{qi},注意到∀x∈P∪{1},qx两两互素,也即每一个素因子至多只能在其中出现一次,分析数量不难得到每一个数至多只能
阅读全文
摘要:对整个过程构造一张有向图,其中(x,y)∈E当且仅当x把y加入,且边权为ax 显然这是一棵外向树森林,并再做如下两个构造: 1.新建一个点a0=0,将其向所有入度为0的点连边 2.将所有边变为无向边,且边权修改为ax+ay(x和y为两端点
阅读全文
摘要:称一个点是"好点",当且仅当其到其余所有点恰存在一条简单路径 结论1:x为好点当且仅当以x为根的dfs树包含所有点且非树边均为返祖边 若不包含所有点,那么x到不被包含的点即不存在简单路径 若存在非树边不为返祖边,则不论如何该边x到该边终点存在至少两条简单路径 另一方面,考虑在这样一棵
阅读全文
摘要:由于两种线段要交替出现,有解的必要条件即为h=v(以下均记为n) 进一步的,再假设两种线段依次对应于向量(ai,0)和(0,bi),根据题意要求向量长度为给定值且和为0,那么也即有|ai|=li,|bi|=pi且$\sum_{i=1}^{n}a
阅读全文
摘要:不妨先操作一轮,使得0≤ai≤2 结论:若序列中存在1,则答案为0或1 考虑归纳,注意到若序列中存在1,除非所有元素均为1,否则操作一轮后必然仍存在1,那么根据归纳假设即成立,而当所有元素均为1时,显然答案一定为0或1(序列长度已经为1),同样成立 由此,实际上只需要通过奇偶性
阅读全文
摘要:对于题中的"normal expression"(仅含加减乘和无前导0的非负整数,无括号)的计算,实际上并不需要通常的表达式求值,而可以用下述方式计算—— 维护三元组(a,b,c),分别表示已经确定的部分、下一个±之前这些数的系数和当前最后一个数字(或许解释并不清晰,可以参考转移),三者
阅读全文
摘要:结论:假设ax=max,对于任意1\le l\le n,存在长度为l且价值最大的子序列包含x 若不存在,任取一个长度为l且价值最大的子序列,将其中与a_{x}相邻的一项改为a_{x}即可 由此,不妨先选择a_{x},并将x之前
阅读全文
摘要:维护n^{2}个三元组(x,y,z),每一个三元组描述a_{x,y}=z 对于RLDU这四个操作,即将所有三元组的x或y执行\pm 1(模n意义下) 对于IC这两个操作,即分别将y和z交换或x和z交换 维护这三个元素交换的顺序以及每一个元素加减的量,最终再
阅读全文
摘要:为了方便,先将n减小1,即两者范围分别为[0,n]和[m,m+n] 结论:取u=\min_{i\in [m,m+n],n\& i=n}i,则\forall 0\le i\le u-m,(n-i)\&(u-i)=n-i 证明分为两点:1.u的存在性;2.后者成立 关于u的存
阅读全文
摘要:假设x的最高位为2^{t}(即2^{t}\le x<2^{t+1}),并构造出y=2^{t}x\oplus x,不难发现两者仅在第t位上均为1,那么根据异或的性质可得y=(2^{t}+1)x-2^{t+1} 由于x为奇数,即(x,2^{t+1})=1,进而也即$(x,
阅读全文
摘要:记deg_{i}为i的度数,简单分类讨论可得答案下限为\max_{i=1}^{n}deg_{i} 另一方面,此下限是可以取到的,构造方法较多,这里给一个巧妙一些的做法—— 对其以dfs(儿子顺序任意),并要求如果一个节点被父亲递归时时间为t+1,则返回时时间为t,那么父亲的时间即
阅读全文
摘要:2020年论文题,这里给出了一个o(n\log^{2}n+m\log^{3}n)的做法,例题3即为原题 1.例题1 题面 给定n个一次函数f_{i}(x),m次查询F(x)=\max_{i=1}^{n}f_{i}(x),强制在线 $1\le n,m\le 3\times 10^{
阅读全文
摘要:前置知识 (以下内容并不严谨,可以参考论文《转置原理的简单介绍》) 对于一个算法,其为线性算法当且仅当仅包含以下操作: 1.read\ i,将r_{i}的值赋为(下一个)读入的元素 2.write\ i,将r_{i}的值赋给(下一个)输出的元素 3.update\ i\ j\ c
阅读全文
摘要:令a_{i}和b_{i}分别为A_{i}和B_{i}减少的值,考虑判定\{a_{i}\},\{b_{i}\}能否被得到 结论:\{a_{i}\},\{b_{i}\}能否被得到当且仅当满足以下条件—— 1.0\le a_{i}\le A_{i},$0\le b_{i}\le
阅读全文
摘要:结论:(不妨假设p_{1}<p_{n})\{p_{i}\}合法当且仅当\exists 1\le i\le n-1,使得p_{1}\ge p_{i}且p_{i+1}\ge p_{n} 充分性—— 为了方便,在删除一个元素后,i和n也随之变化(指向原来的元素,若删除$p_{i
阅读全文
摘要:对于两个字符串s和t(保证其中每一种字符个数相同),定义s和t的相对逆序对数为s得到t的最少交换次数,显然同种字符相对顺序保持不变,因此即依次编号后的逆序对数 问题不妨看作构造合法字符串t使得s和t的相对逆序对数最小,定义f_{S}(s)为s仅保留S中
阅读全文
摘要:为了使得方案的形式较为单一,不妨强制物品体积为1或\ge \lceil\frac{w}{2}\rceil,那么假设最终有x个1且\ge \lceil\frac{w}{2}\rceil的物品体积依次为a_{1},a_{2},...,a_{n-x},不难发现方案数即为$\sum_{i=1
阅读全文
摘要:将其以x为根建树,并定义k的点权w_{k}为k到其父亲的边边权(特别的w_{x}=0),那么问题也可以看作选一个包含x的点集,满足其的导出子图连通且边集可以被划分为y条路径,并最大化点权和 性质1:边集可以被划分为y条路径,当且仅当度为1的节点不超过2y个 必要性
阅读全文