2021 年 7月随笔档案 - PYWBKTDA

摘要：对于两条路径，注意到每一个交点都会改变两者的上下关系，因此两条路径交点的奇偶性，仅取决于两者的起点和终点是否改变了上下关系（改变即为奇数）类似地，对于整个路径方案，令

p_{i}

$p_{i}$ 为以第一层的

i

$i$ 为起点的路径在第

K

$K$ 层的终点，那么该方案的交点数的奇偶性，仅取决于

p_{i}

$p_{i}$ 逆序对数（与逆序阅读全文

posted @ 2021-07-27 20:09 PYWBKTDA 阅读(73) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj3525]喷泉公园

摘要：先将整张图

x

$x$ 和

y

$y$ 都缩小一半，即"道路"长度变为1，"长椅"变为放在格子中心如果在没有长椅的限制下也无解（直接dfs即可判定），显然原问题也无解否则，将所有格子（注意不是点）黑白染色，并强制横向道路（即从

(x, y)

$(x,y)$ 到

(x + 1, y)

$(x+1,y)$ 的道路，纵向同理）对应的长椅在黑色格子的中心、纵向阅读全文

posted @ 2021-07-26 21:51 PYWBKTDA 阅读(65) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[gym102220I]Temperature Survey

摘要：（为了方便，以下记

a_{0} = 0, a_{n + 1} = n

$a_{0}=0,a_{n+1}=n$ ，并将

n

$n$ 加上1）构造一个

n

$n$ 行的网格图，从上到下第

i

$i$ 行有

a_{i}

$a_{i}$ 个格子，格子左对齐记第

i

$i$ 行第

j

$j$ 个格子为

(i, j)

$(i,j)$ ，格子集合

{(i, j) ∣ i_{1} \leq i \leq i_{2}

$\{(i,j)\mid i_{1}\le i\le i_{2}$ 且$j_{1} 阅读全文

posted @ 2021-07-25 14:20 PYWBKTDA 阅读(102) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atAGC034F]RNG and XOR

摘要：令

N = 2^{n}

$N=2^{n}$ 先将

\forall 0 \leq i < N, a_{i}

$\forall 0\le i<N,a_{i}$ 除以

\sum_{i = 0}^{N - 1} a_{i}

$\sum_{i=0}^{N-1}a_{i}$ ，即变为概率令

f_{i}

$f_{i}$ 表示

i

$i$ 的答案（第一次变成

i

$i$ 的期望步数），则$$\begin{cases}f_{0}=0\\f_{i}=\left(\sum_{j=0}^{N 阅读全文

posted @ 2021-07-19 14:46 PYWBKTDA 阅读(64) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[luogu5564]Say Goodbye

摘要：两树相同的定义与题中相同，并定义两树完全相同当且仅当在不允许基环旋转的条件下相同枚举基环的长度

l

$l$ ，根据置换群的理论，答案即

\frac{1}{l} \sum_{i = 1}^{l} f (i)

$\frac{1}{l}\sum_{i=1}^{l}f(i)$ （其中

f (i)

$f(i)$ 表示满足"基环旋转

i

$i$ 次后与原基环树完全相同"的不完全相同的树个数）关于这个结论，考虑一阅读全文

posted @ 2021-07-18 21:06 PYWBKTDA 阅读(54) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[cf1349D]Slime and Biscuits

摘要：枚举最终的获得所有饼干的人

i

$i$ （以下简称"获胜者"），对于

i

$i$ 获胜的情况，令其贡献为游戏轮数，否则其贡献为0，记

F_{i}

$F_{i}$ 为期望贡献（即所有情况概率*贡献之和），答案即为

\sum_{i = 1}^{n} F_{i}

$\sum_{i=1}^{n}F_{i}$ 但此时的

F_{i}

$F_{i}$ 比较复杂，其不仅取决于第

i

$i$ 个人的饼干数量，还取决于别阅读全文

posted @ 2021-07-17 21:26 PYWBKTDA 阅读(55) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[bzoj3569]DZY Loves Chinese II

摘要：若原图不连通，显然答案都是"Disconnected"，不妨假设原图连通任求一棵生成树，对每条非树边随机一个权值，并将树边的权值为所有"包含"其的非树边（"包含"指树边在非树边两端点生成树的路径上），那么每一条边即都有一个边权下面，只需要判定删除的边权是否存在非空子集异或和为0即可（存在即不连通阅读全文

posted @ 2021-07-17 19:53 PYWBKTDA 阅读(77) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[hdu6316]Odd shops

摘要：记

m = 10

$m=10$ ，即商品的种类记

g (x) = 1 + \sum_{i = 1}^{m} a_{i} x_{i}

$g(x)=1+\sum_{i=1}^{m}a_{i}x_{i}$ ，问题即求

f_{n} (x) = g^{n} (x)

$f_{n}(x)=g^{n}(x)$ 非0项数（模2意义下）注意到

f^{2} (x) \equiv f (x^{2}) (m o d 2)

$f^{2}(x)\equiv f(x^{2})(mod\ 2)$ ，这是因为如果所选的项在两边不同，那么交换后即会抵消令$ 阅读全文

posted @ 2021-07-16 16:08 PYWBKTDA 阅读(52) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[Zijian47]梦中的项链

摘要：先不考虑环和相邻两项不同的限制，此时的问题即选择若干个数和为

w

$w$ ，且选择

k

$k$ 有

a_{k}

$a_{k}$ 的系数，那么构造生成函数

G (x) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} x^{i}

$G(x)=\sum_{i=1}^{n}a_{i}x^{i}$ ，则问题即求

\sum_{i \geq 0} G^{i} (x) = \frac{1}{1 - G (x)}

$\sum_{i\ge 0}G^{i}(x)=\frac{1}{1-G(x)}$ 进一步的，要求相邻两项不阅读全文

posted @ 2021-07-14 19:40 PYWBKTDA 阅读(68) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[cf765F]Souvenirs

摘要：离线，从小到大枚举右端点，维护左端点的答案，那么当右端点从

r - 1

$r-1$ 变为

r

$r$ 时，即在原来的基础上考虑其中一个数为

a_{r}

$a_{r}$ 的答案，并对原来的答案取

min

$\min$ 考虑另一个数为

a_{i}

$a_{i}$ ，这里仅考虑

a_{r} \leq a_{i}

$a_{r}\le a_{i}$ 的情况（

a_{r} \geq a_{i}

$a_{r}\ge a_{i}$ 类似）：此时，先找到阅读全文

posted @ 2021-07-14 17:45 PYWBKTDA 阅读(45) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[at4631]Jewels

摘要：如果要选某颜色，必然会选该颜色最大的两个，那么不妨将这两个宝石权值修改为两者的平均数，显然不影响两者的和，也即不影响答案接下来，将所有宝石按权值从大到小排序，并在权值相同时按颜色编号从小到大（使颜色相同的在一起）此时，如果可以选前

i

$i$ 个宝石，那么显然直接选即可否则，注由于每种颜色权值最大的两阅读全文

posted @ 2021-07-14 16:46 PYWBKTDA 阅读(95) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj6118]鬼牌

摘要：枚举最终所有牌的大小

i

$i$ ，对于最终所有牌大小都为

i

$i$ 的情况，令其贡献为步数，否则令其贡献为0，记

F

$F$ 为期望贡献（即所有情况概率*贡献之和），答案即为

\sum_{i = 1}^{m} F

$\sum_{i=1}^{m}F$ 显然，

F

$F$ 仅取决于牌的数量，定义

F_{i}

$F_{i}$ 表示恰有

i

$i$ 张牌的期望贡献，那么答案即为$\sum_{i=1 阅读全文

posted @ 2021-07-14 15:10 PYWBKTDA 阅读(124) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj3528]位移寄存器

摘要：当

s = 0

$s=0$ 时（求最小值）：若

x_{0}, x_{1}, . . ., x_{n - 1}

$x_{0},x_{1},...,x_{n-1}$ 和

y_{0}, y_{1}, . . ., y_{n - 1}

$y_{0},y_{1},...,y_{n-1}$ 像题中所给的方式存储在

r [0] [0.. n k - 1]

$r[0][0..nk-1]$ 和

r [1] [0.. n k - 1]

$r[1][0..nk-1]$ ，那么执行 not(2,1),add(2,0,2),xor(2,0,2),xor( 阅读全文

posted @ 2021-07-14 08:41 PYWBKTDA 阅读(54) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj3524]钥匙

摘要：由于到达关系具有传递性，可以考虑不断将若干个可以相互到达的点缩点，并且当两个点只能单向到达时，能到达另一个点的点一定不是最小值由此，我们来考虑dfs，即不断从一个节点开始，遍历其可以到达的点，当发现了环即将这些点合并（启发式合并），当发现了已经完全搜过（不在栈中）的点即一定不能作为最小值在实现上阅读全文

posted @ 2021-07-13 14:16 PYWBKTDA 阅读(54) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[cf1528F]AmShZ Farm

摘要：考虑

a_{i}

$a_{i}$ 是"more-equal"的组合意义，有以下构造—— 有

n

$n$ 个位置，每一次选择一个位置

a_{i}

$a_{i}$ ，在

a_{i}

$a_{i}$ 之后（包括

a_{i}

$a_{i}$ ）的第一个空位上停一辆车，那么

a_{i}

$a_{i}$ 即要求每一辆车都可以停（不存在停到第

n + 1

$n+1$ 个位置及以后的情况）关于这个问题，可以在之后新阅读全文

posted @ 2021-07-13 13:29 PYWBKTDA 阅读(55) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj3527]地牢游戏

摘要：当英雄能力值

\geq 10^{7}

$\ge 10^{7}$ 时，即能战胜所有敌人，简单预处理即可若英雄能力值在

[2^{k}, 2^{k + 1})

$[2^{k},2^{k+1})$ 中，对敌人分类讨论： 1.若

s_{i} \leq 2^{k}

$s_{i}\le 2^{k}$ ，其必然会战胜这些敌人 2.若

s_{i} > 2^{k}

$s_{i}>2^{k}$ ，考虑快速找到其第一次战胜这些敌人的时刻，注意到战胜这些敌人后阅读全文

posted @ 2021-07-12 17:37 PYWBKTDA 阅读(75) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj3526]修改DNA

摘要：如果

a [x . . y]

$a[x..y]$ 和

b [x . . y]

$b[x..y]$ 的某种字符数量不同，显然无解考虑一个

[x, y]

$[x,y]$ 的排列

p [x . . y]

$p[x..y]$ ，使得

\forall x \leq i \leq y, a_{i} = b_{p_{i}}

$\forall x\le i\le y,a_{i}=b_{p_{i}}$ ，即最终要让

i

$i$ 到

p_{i}

$p_{i}$ 的位置建有向边

(i, p_{i})

$(i,p_{i})$ ，由于每一个点入度和出度都为1 阅读全文

posted @ 2021-07-12 12:54 PYWBKTDA 阅读(193) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj3523]分糖果

摘要：做法1 将问题离线，并在左端点和右端点打上差分，之后即可以看作求

f (C, [a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}])

$f(C,[a_{1},a_{2},...,a_{n}])$ ，其表示以

C

$C$ 为上限（0为下限），从0开始不断加上

a_{i}

$a_{i}$ （可以为负）的答案再定义

g (C, a_{i})

$g(C,a_{i})$ ，其与

f (C, a_{i})

$f(C,a_{i})$ 的定义类似，但没有下限为0的限阅读全文

posted @ 2021-07-12 12:51 PYWBKTDA 阅读(67) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj3256]火灾

摘要：将问题差分，即求

\sum_{i = 1}^{r} S_{i} (t) - \sum_{i = 1}^{l - 1} S_{i} (t)

$\sum_{i=1}^{r}S_{i}(t)-\sum_{i=1}^{l-1}S_{i}(t)$ ，由于两者类似，不妨考虑前者构造矩阵

A_{i, j} = S_{j} (i) - S_{j} (i - 1)

$A_{i,j}=S_{j}(i)-S_{j}(i-1)$ ，记初始的序列为

a_{i}

$a_{i}$ ，则$S_{i}(t)=a_{i}+\sum_{j=1}^{ 阅读全文

posted @ 2021-07-12 06:56 PYWBKTDA 阅读(58) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj3014]独特的城市

摘要：注意到与

u

$u$ 独特的点总是在距离

u

$u$ 最远的点上，而直径的端点总包含距离

u

$u$ 最远的点换言之，设直径为

(a, b)

$(a,b)$ ，则以

a, b

$a,b$ 为根分别求出

u

$u$ 到根路径上与

u

$u$ 独特的点即可（仅在

u

$u$ 较深的树上查询）关于上述过程，可以维护一个栈，在递归

u

$u$ 时依次执行以下过程： 1.弹出栈顶直至栈顶到$ 阅读全文

posted @ 2021-07-11 14:22 PYWBKTDA 阅读(63) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj3075]组合数求和

摘要：Subtask1：

m, n d \leq 2 \times 10^{3}

$m,nd\le 2\times 10^{3}$ 对

M

$M$ 质因数分解，假设

M = \prod_{i = 1}^{k} p_{i}^{α_{i}}

$M=\prod_{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha_{i}}$ （其中

p_{i}

$p_{i}$ 为素数），对每个

i

$i$ 求出

f (j) m o d p_{i}^{α_{i}}

$f(j)\ mod\ p_{i}^{\alpha_{i}}$ 的值，再通过exgc 阅读全文

posted @ 2021-07-10 13:19 PYWBKTDA 阅读(231) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atARC122F]Domination

摘要：如果一个红石头在另一个红石头的左下方（包括左和下），那么在后者的限制满足时，前者也一定满足，因此可以删去前者，再将其按照

r x_{i}

$rx_{i}$ 排序，即有

r x_{1} < r x_{2} < . . . < r x_{n}

$rx_{1}<rx_{2}<...<rx_{n}$ 且

r y_{1} > r y_{2} > . . . > r y_{n}

$ry_{1}>ry_{2}>...>ry_{n}$ 称一个蓝石头覆盖一个红石头当且今当后者在前者的阅读全文

posted @ 2021-07-08 13:15 PYWBKTDA 阅读(231) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atARC121F]Logical Operations on Tree

摘要：（特判

n = 1

$n=1$ 的情况）当确定权值和操作后，如何判定是否合法—— 考虑一个度为1的节点，对其权值即其对应边的边操作分类讨论：

1 \lor

$1\or$ ，显然只需要最后选择这条边即可，一定合法

1 \land

$1\and$ 或

0 \lor

$0\or$ ，显然这条边没有意义，不妨直接选择

0 \land

$0\and$ ，将最终的结果变为0，显然不如初始的值为阅读全文

posted @ 2021-07-06 09:04 PYWBKTDA 阅读(89) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atARC121E]Directed Tree

摘要：令

b_{a_{i}} = i

$b_{a_{i}}=i$ ，那么问题即要求

i

$i$ 不是

b_{i}

$b_{i}$ 的祖先，也即

b_{i}

$b_{i}$ 不严格在

i

$i$ 的子树中显然

a_{i}

$a_{i}$ 和

b_{i}

$b_{i}$ 一一对应，因此我们不妨统计

b_{i}

$b_{i}$ 的个数考虑容斥，令

f (S)

$f(S)$ 为

\forall i \in S, b_{i}

$\forall i\in S,b_{i}$ 严格在

i

$i$ 子树中的排列数，根阅读全文

posted @ 2021-07-05 17:54 PYWBKTDA 阅读(89) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atARC121D]1 or 2

摘要：对于大小为1的集合，我们可以在其中加入0 因此，枚举0的个数，那么问题即可以看作要求每一个集合大小为2 （特别的，我们允许存在

{0, 0}

$\{0,0\}$ ，因为这样删除这两个0显然只会减小极差）显然此时贪心将最小与最大、次小与次大……放入一个集合中即可关于正确性，设最小值和最大值为

A, D

$A,D$ ，若$\{A, 阅读全文

posted @ 2021-07-05 10:24 PYWBKTDA 阅读(40) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[luogu7600]封闭道路

摘要：对于确定的

K

$K$ ，问题也可以看作每一个点最多选

K

$K$ 条出边，并最大化选择的边权和关于这个问题，有如下的树形dp—— 令

f_{k, 0 / 1}

$f_{k,0/1}$ 表示以

k

$k$ 为根的子树中，根节点选择不超过

K / K - 1

$K/K-1$ 个儿子的最大边权和，转移为$$\begin{cases}f_{k,0}=\sum_{x\in son_ 阅读全文

posted @ 2021-07-05 07:33 PYWBKTDA 阅读(44) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[cf700D]Huffman Coding on Segment

摘要：令

t o t_{i}

$tot_{i}$ 为区间

[l, r]

$[l,r]$ 中满足

a_{j} = i

$a_{j}=i$ 的

j

$j$ 的个数，将所有非0的

t o t_{i}

$tot_{i}$ 取出，得到可重集

S

$S$ 显然，有以下贪心：不断取出

S

$S$ 中最小的两个元素，删除这两个元素并加入这两个元素的和，直至

| S | = 1

$|S|=1$ ，每一次两个元素的和的和即为答案使用莫队可以在$o(n\lo 阅读全文

posted @ 2021-07-02 13:56 PYWBKTDA 阅读(45) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj3032]馕

摘要：（直接贪心会导致分子和分母过大）令

S_{i} = \sum_{j = 1}^{L} V_{i, j}

$S_{i}=\sum_{j=1}^{L}V_{i,j}$ （即其独吞整个馕的快乐度），对第

i

$i$ 个人求出

n

$n$ 个位置

x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n - 1}

$x_{1},x_{2},...,x_{n-1}$ ，使得以此划分出的

n

$n$ 段中，其吃每一段的快乐度都恰为

\frac{S_{i}}{n}

$\frac{S_{i}}{n}$ 假设$j 阅读全文

posted @ 2021-07-01 15:45 PYWBKTDA 阅读(39) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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