2021 年 4月随笔档案 - PYWBKTDA

摘要：令

X

$X$ 为移动次数，答案即

\sum_{i = 0}^{\infty} P (X > i)

$\sum_{i=0}^{\infty}P(X>i)$ ，后者记作

S_{i}

$S_{i}$ 关于

S_{i}

$S_{i}$ ，令

f_{i, j}

$f_{i,j}$ 表示走了

i

$i$ 步后位于

j

$j$ 且未到达过

k

$k$ 的概率，即有

S_{i} = \sum_{j \in V, j \neq t} f_{i, j}

$S_{i}=\sum_{j\in V,j\ne t}f_{i,j}$ 初始状态即$f_{0,s} 阅读全文

posted @ 2021-04-30 21:51 PYWBKTDA 阅读(127) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[cf963E]Circles of Waiting

摘要：将与原点距离大于

R

$R$ 的点缩为一个点

t

$t$ ，即终点做法1 定义

f_{i}

$f_{i}$ 表示从

i

$i$ 到

t

$t$ 的期望步数，即

f_{i} = {\begin{cases} \sum_{(i, j) \in E} w_{(i, j)} f_{j} + 1 & (j \neq t) \\ 0 & (j = t) \end{cases}

$f_{i}=\begin{cases}\sum_{(i,j)\in E}w_{(i,j)}f_{j}+1&(j\ne t)\\0&(j=t)\end{cases}$ 直接对其高斯消元，时阅读全文

posted @ 2021-04-30 08:32 PYWBKTDA 阅读(126) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj502]ZQC的截图

摘要：给每一个人一个随机数

R_{i}

$R_{i}$ ，将一个消息中所有人的的

R_{i}

$R_{i}$ 在三进制下相加（多次出现需要多个

R_{i}

$R_{i}$ ），最终之和若为0，即判定答案为-1，若为某个

R_{i}

$R_{i}$ 或

R_{i} + R_{i}

$R_{i}+R_{i}$ （三进制下），则为

i

$i$ ，否则为-2 显然这一做法是随机的，但其每一次失败都意味者结果为0，但阅读全文

posted @ 2021-04-28 15:25 PYWBKTDA 阅读(91) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[cf1479E]School Clubs

摘要：对于当前班级状态

S

$S$ ，定义一个函数

φ (S)

$\varphi(S)$ ，要求其满足：令结束状态为

S_{e n d}

$S_{end}$ ，对于任意

S \neq S_{e n d}

$S\ne S_{end}$ ，若其下一个状态为

S^{'}

$S'$ ，则

E (φ (S) - φ (S^{'})) = 1

$E(\varphi(S)-\varphi(S'))=1$ 由此，归纳即可得到

S

$S$ 的期望结束步数为为$\varphi(S)- 阅读全文

posted @ 2021-04-23 10:42 PYWBKTDA 阅读(99) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atAGC052D]Equal LIS

摘要：令

f_{i}

$f_{i}$ 表示以

i

$i$ 为结尾的最长上升子序列，显然可以快速预处理令

L = {max}_{i = 1}^{n} f_{i}

$L=\max_{i=1}^{n}f_{i}$ ，当

L

$L$ 为偶数，考虑如下构造—— 将所有

f_{i} \leq \frac{L}{2}

$f_{i}\le \frac{L}{2}$ 的

a_{i}

$a_{i}$ 选入第1个序列，其余位置选入第2个序列此时，来证明两个序列的最长上升子序列都阅读全文

posted @ 2021-04-23 10:24 PYWBKTDA 阅读(144) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atAGC052C]Nondivisible Prefix Sums

摘要：当1为

a_{i}

$a_{i}$ 中出现次数最多的元素（之一），则有以下结论—— 结论：

a_{i}

$a_{i}$ 合法当且仅当

P ∤ \sum_{i = 1}^{n} a_{i}

$P\not\mid \sum_{i=1}^{n}a_{i}$ 且$\sum_{i=1}^{n}[a_{i}=1]\le (P-1)+\sum_{1\le i\le n,a_{i}\ne 1}(P-a_ 阅读全文

posted @ 2021-04-22 15:58 PYWBKTDA 阅读(107) 评论(0) 推荐(1) 编辑

[atAGC052B]Tree Edges XOR

摘要：定义两点的距离

d (x, y)

$d(x,y)$ 为

x

$x$ 到

y

$y$ 路径上边权异或和，则两棵树相同当且仅当

\forall 1 \leq i \leq n

$\forall 1\le i\le n$ ，

d (1, i)

$d(1,i)$ 相同新建一个节点0，连边

(0, 1)

$(0,1)$ ，初始权值为0，且不能以这条边为对象操作（但操作与1相连的边会影响其）记

d_{i} = d (0, i)

$d_{i}=d(0,i)$ ，考虑一次操作阅读全文

posted @ 2021-04-21 22:24 PYWBKTDA 阅读(188) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[gym103055H]Grammy and HearthStone

摘要：题目即要求构造一个长为

2 n

$2n$ 的序列

a_{i}

$a_{i}$ ，满足

\forall 1 \leq i \leq n

$\forall 1\le i\le n$ ，

i

$i$ 恰好出现两次，假设分别是

a_{x} = a_{y} = i (x < y)

$a_{x}=a_{y}=i(x<y)$ ，即要求

y - x = i

$y-x=i$ （输出序列即对于所有

i

$i$ ，依次输出其第一次出现的位置

x

$x$ 即可）考虑$S_{1}=\sum_{i=1} 阅读全文

posted @ 2021-04-21 22:11 PYWBKTDA 阅读(381) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[cf1479D]Odd Mineral Resource

摘要：先考虑判定是否有解，注意到无解即每一个数都出现偶数次，根据异或的性质，只需要随机

V_{i}

$V_{i}$ ，假设

u

$u$ 到

v

$v$ 路径上所有节点构成集合

S

$S$ ，若

⨁_{x \in S, l \leq a_{x} \leq r} V_{a_{x}} = 0

$\bigoplus_{x\in S,l\le a_{x}\le r}V_{a_{x}}=0$ 即无解考虑如何快速计算上述值，根据异或的自反性，对其差分，阅读全文

posted @ 2021-04-21 16:09 PYWBKTDA 阅读(84) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[ARC117E]Zero-Sum Ranges 2

摘要：令

s u m_{i} = \sum_{j = 1}^{i} a_{j}

$sum_{i}=\sum_{j=1}^{i}a_{j}$ ，即要求其满足： 1.

s u m_{0} = s u m_{2 n} = 0

$sum_{0}=sum_{2n}=0$ 且

\forall 1 \leq i \leq 2 n, | s u m_{i} - s u m_{i - 1} | = 1

$\forall 1\le i\le 2n,|sum_{i}-sum_{i-1}|=1$ 2.$\sum_{0\le i<j\le 2n}[sum_{i}=sum_{j}]=k 阅读全文

posted @ 2021-04-20 14:01 PYWBKTDA 阅读(247) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atARC117F]Gateau

摘要：假设序列

b_{i}

$b_{i}$ 为最终第

i

$i$ 片上的草莓数，即需要满足：

\forall 0 \leq i < 2 n, a_{i} \leq \sum_{j = 0}^{n - 1} b_{(i + j) m o d 2 n}

$\forall 0\le i<2n,a_{i}\le \sum_{j=0}^{n-1}b_{(i+j)mod\ 2n}$ 要求最小化

\sum_{i = 0}^{2 n - 1} b_{i}

$\sum_{i=0}^{2n-1}b_{i}$ ，显然增大

b_{i}

$b_{i}$ 一定仍满足条件，即具备单调性，二阅读全文

posted @ 2021-04-19 22:14 PYWBKTDA 阅读(432) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atARC117D]Miracle Tree

摘要：将

E_{i}

$E_{i}$ 从小到大排序（显然不会相同），假设

E_{p_{i}}

$E_{p_{i}}$ 为从小到大第

i

$i$ 小此时，必然有

E_{p_{1}} = 1

$E_{p_{1}}=1$ ，否则可以将

E_{p_{i}}

$E_{p_{i}}$ 都减去

E_{p_{1}} - 1

$E_{p_{1}}-1$ ，之后即需要最小化

E_{p_{n}}

$E_{p_{n}}$ 当

p_{i}

$p_{i}$ 确定后，题目中第2个条件即可变为$\fora 阅读全文

posted @ 2021-04-19 15:19 PYWBKTDA 阅读(104) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj3504]支配

摘要：令

S_{x}

$S_{x}$ 表示

x

$x$ 支配的节点集合，可以暴力枚举

x

$x$ 并求出

S_{x}

$S_{x}$ （删去

x

$x$ 后从1开始dfs，复杂度为

o (n m)

$o(nm)$ ），进而反过来即可求出受支配集

D_{x}

$D_{x}$ 结论1：若

z \in S_{x} \cap S_{y}

$z\in S_{x}\cap S_{y}$ ，则有

x \in S_{y}

$x\in S_{y}$ 或

y \in S_{x}

$y\in S_{x}$ 由于

x

$x$ 阅读全文

posted @ 2021-04-17 22:47 PYWBKTDA 阅读(108) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[gym102511K]Traffic Blights

摘要：为了方便，对于集合

S

$S$ ，称

k \equiv S (m o d M)

$k\equiv S(mod\ M)$ 当且仅当存在

x \in S

$x\in S$ 使得

k \equiv x (m o d M)

$k\equiv x(mod\ M)$ 枚举红绿灯，对每一个点即限制

k

$k$ 对

g_{i} + r_{i}

$g_{i}+r_{i}$ 取模后的结果，同时相邻两个红绿灯限制相差是

o (1)

$o(1)$ 的，即可以提取出以下这个模型——

n

$n$ 次操作阅读全文

posted @ 2021-04-17 09:21 PYWBKTDA 阅读(113) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj3501]图函数

摘要：

f (i, G)_{x}

$f(i,G)_{x}$ 为

x

$x$ 对

i

$i$ 是否有贡献，即在枚举到

x

$x$ 时，

i

$i$ 与

x

$x$ 是否强连通事实上，

f (i, G)_{x} = 1

$f(i,G)_{x}=1$ 即不经过

[1, x)

$[1,x)$ 中的点且

i

$i$ 与

x

$x$ 强连通首先，当存在这样的路径，即使

[1, x)

$[1,x)$ 中的点全部删除两者也仍然强连通（有贡献）同时，若不存在这样的路径，考虑阅读全文

posted @ 2021-04-16 19:19 PYWBKTDA 阅读(80) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj3503]滚榜

摘要：一个小问题：题意中关于

b_{i}

$b_{i}$ 的顺序只需要单调不降即可，相同时可任意选择考虑

i

$i$ 优于

j

$j$ 的条件，即

v a l_{i} \geq v a l_{j} + [i > j]

$val_{i}\ge val_{j}+[i>j]$ ，并记

d e l_{i, j} = max (a_{i} + [i < j] - a_{j}, 0)

$del_{i,j}=\max(a_{i}+[i<j]-a_{j},0)$ 先考虑暴力

o (n!)

$o(n!)$ 枚举最终的排名排名

p_{i}

$p_{i}$ 阅读全文

posted @ 2021-04-16 14:58 PYWBKTDA 阅读(56) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj3500]矩阵游戏

摘要：为了方便，令

a_{i, j}

$a_{i,j}$ 的下标范围为

[0, n]

$[0,n]$ 和

[0, m]

$[0,m]$ ，

b_{i, j}

$b_{i,j}$ 的下标范围为

[1, n]

$[1,n]$ 和

[1, m]

$[1,m]$ 当确定

a_{i, 0}

$a_{i,0}$ 和

a_{0, j}

$a_{0,j}$ 后，即可通过

b_{i, j}

$b_{i,j}$ 来确定

a_{i, j}

$a_{i,j}$ ，具体的有$$a_{i,j}=(-1)^{i+j}\sum_{1\ 阅读全文

posted @ 2021-04-16 13:51 PYWBKTDA 阅读(65) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj2135]幻想乡战略游戏

摘要：以1为根建树，令

D_{i}

$D_{i}$ 为

i

$i$ 子树内所有节点

d_{i}

$d_{i}$ 之和令

a n s_{i}

$ans_{i}$ 为节点

i

$i$ 的答案，令

f a

$fa$ 为

i

$i$ 的父亲，则

a n s_{i} = a n s_{f a} + d i s (i, f a) (D_{1} - 2 D_{i})

$ans_{i}=ans_{fa}+dis(i,fa)(D_{1}-2D_{i})$ 节点

i \neq 1

$i\ne 1$ 是最大值的必要条件是其

2 D_{i} > D_{1}

$2D_{i}>D_{1}$ ，否阅读全文

posted @ 2021-04-10 16:17 PYWBKTDA 阅读(72) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[cf720D]Slalom

摘要：对于每一行，这些障碍将其划分为若干段，记第

i

$i$ 行（

y = i

$y=i$ 时）从左到右第

j

$j$ 段为

[l_{i, j}, r_{i, j}]

$[l_{i,j},r_{i,j}]$ 显然一条路径恰好经过每一行中的一段，且两种方案不同当且仅当其中经过的一段不同对于某一条路径，令

a_{i}

$a_{i}$ 为其经过第

i

$i$ 行时的段，则合法当且仅当$$a_{1}=1且\f 阅读全文

posted @ 2021-04-10 06:27 PYWBKTDA 阅读(83) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[cf1349E]Slime and Hats

摘要：首先，当发现全场不存在黑色帽子时，显然所有人都知道其是白色帽子，即必然离开当第一轮时，若第

n

$n$ 个人发现前面

n - 1

$n-1$ 个人全是白色时，其自己必然是黑色，必然离开而第二轮时，若第

n - 1

$n-1$ 个人发现

n

$n$ 没有离开，且前面

n - 2

$n-2$ 个人都是白色时，其自己必然是黑色（否则第

n

$n$ 个人必然会在第一轮离开）阅读全文

posted @ 2021-04-09 13:35 PYWBKTDA 阅读(116) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[cf674E]Bear and Destroying Subtrees

摘要：令

f_{i, j}

$f_{i,j}$ 表示以

i

$i$ 为根的子树中，深度小于等于

j

$j$ 的概率，那么

a n s_{i} = \sum_{j = 1}^{d e p} (f_{i, j} - f_{i, j - 1}) j

$ans_{i}=\sum_{j=1}^{dep}(f_{i,j}-f_{i,j-1})j$ 大约来估计一下

f_{i, j}

$f_{i,j}$ 的大小，较坏情况下是

⌊ \frac{n - 1}{j} ⌋

$\lfloor\frac{n-1}{j}\rfloor$ 个深度为

j

$j$ 的节点阅读全文

posted @ 2021-04-08 15:28 PYWBKTDA 阅读(63) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[luogu5361]热闹的聚会与尴尬的聚会

摘要：由于两者是独立的，我们希望两者的

p

$p$ 和

q

$q$ 都最大考虑最大的

p

$p$ ，先全部邀请，此时要增大

p

$p$ 显然必须要删去当前度数最小的点，不断删除之后将每一次度数最小值对答案取max即可对于

q

$q$ 也即最大独立集，并没有很好的解法，但考虑不断加入一个节点

x

$x$ ，并删去

x

$x$ 以及与

x

$x$ 相邻的节点，重复此过阅读全文

posted @ 2021-04-08 13:35 PYWBKTDA 阅读(69) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[luogu5540]最小乘积生成树

摘要：假设给定的图为

G = (V, E)

$G=(V,E)$ （边用四元组

(x, y, a, b)

$(x,y,a,b)$ 来描述），对于其一棵生成树

T = (V, E_{T})

$T=(V,E_{T})$ ，根据定义代价即为

\sum_{(x, y, a, b) \in E_{T}} a \sum_{(x, y, a, b) \in E_{T}} b

$\sum_{(x,y,a,b)\in E_{T}}a\sum_{(x,y,a,b)\in E_{T}}b$ 考虑构造一个二维平面，生成树

T

$T$ 对应于平面上的一个点阅读全文

posted @ 2021-04-07 15:30 PYWBKTDA 阅读(159) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[tc13008]Egalitarianism2

摘要：考虑对于

n - 1

$n-1$ 个数

a_{i}

$a_{i}$ ，函数

f (x) = \frac{\sum_{i = 1}^{n - 1} (x - a_{i})^{2}}{n - 1}

$f(x)=\frac{\sum_{i=1}^{n-1}(x-a_{i})^{2}}{n-1}$ 的最小值恰在

x = \frac{\sum_{i = 1}^{n - 1} a_{i}}{n - 1}

$x=\frac{\sum_{i=1}^{n-1}a_{i}}{n-1}$ 取到（根据二次函数显然），因此题意可以理解为任选实数

b

$b$ 并最小化$\fra 阅读全文

posted @ 2021-04-06 14:50 PYWBKTDA 阅读(82) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atAGC050F]NAND Tree

摘要：当

n

$n$ 为偶数，暴力

o (n)

$o(n)$ 枚举第一次操作，以下只考虑

n

$n$ 为奇数的情况此时，

n - 1

$n-1$ 即操作次数为偶数，找到最小的

i

$i$ （其中

1 \leq i \leq \frac{n - 1}{2}

$1\le i\le \frac{n-1}{2}$ ），满足第

2 i - 1

$2i-1$ 和第

2 i

$2i$ 次操作交换后不影响答案，并将其与交换后的操作相互抵消（答案对2取模）考虑两个操作阅读全文

posted @ 2021-04-06 09:59 PYWBKTDA 阅读(157) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atAGC050E]Three Traffic Lights

摘要：原题意可能略微有一些复杂，这里给出简述的题意—— 给定

g_{i}

$g_{i}$ 和

r_{i}

$r_{i}$ （其中

1 \leq i \leq 3

$1\le i\le 3$ ），求有多少个整数

t

$t$ 满足：

0 \leq t < \prod_{i = 1}^{3} (g_{i} + r_{i})

$0\le t< \prod_{i=1}^{3}(g_{i}+r_{i})$ 且$\forall 1\le i\le 3,t\ mod\ (g_{i}+r 阅读全文

posted @ 2021-04-02 16:26 PYWBKTDA 阅读(191) 评论(2) 推荐(0) 编辑

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