2021 年 3月随笔档案 - PYWBKTDA

摘要：参考ARC064F 令

h (n) = {\begin{cases} n (n 为 奇 数) \\ \frac{n}{2} (n 为 偶 数) \end{cases}

$h(n)=\begin{cases}n(n为奇数)\\\frac{n}{2}(n为偶数)\end{cases}$ ，

f (n)

$f(n)$ 定义与ARC064F相同，答案即

\sum_{d | n} h (d) f (d)

$\sum_{d|n}h(d)f(d)$ 考虑

f (n)

$f(n)$ 的转移，即$\sum_{d|n}f(d)=k^{\lceil 阅读全文

posted @ 2021-03-31 18:06 PYWBKTDA 阅读(59) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[luogu4718]Pollard-Rho算法

摘要：模板题题解主要分为两部分，即Miller-Robin判素数以及关于Pollard-Rho算法 1.Miller-Robin判素数对于一个数

n

$n$ ，判定其是否为素数，依次执行以下几步—— (1)若

n = 2

$n=2$ 在

n

$n$ 为素数，否则若

n = 1

$n=1$ 或

n \equiv 0 (m o d 2)

$n\equiv 0(mod\ 2)$ 则

n

$n$ 非素数 (2 阅读全文

posted @ 2021-03-31 16:41 PYWBKTDA 阅读(130) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj2977]巧克力

摘要：先考虑第一个问题，即求最小的巧克力块数将这张网格图建图（仅对

c_{i, j} \neq - 1

$c_{i,j}\ne -1$ 的位置建点），即求点数最少的连通块（的点数）使得存在

k

$k$ 个不同的

c_{i, j}

$c_{i,j}$ （以下

c

$c$ 仅用一维数组表示，

c_{i}

$c_{i}$ 即表示编号为

i

$i$ 的点的原来的

c_{i, j}

$c_{i,j}$ ）令

f_{i, S}

$f_{i,S}$ 表示包阅读全文

posted @ 2021-03-31 09:58 PYWBKTDA 阅读(76) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj2091]小星星

摘要：（分别用

E_{T}

$E_{T}$ 和

E_{G}

$E_{G}$ 表示树和图的边集）简单分析，可以发现题目即求排列

p_{i}

$p_{i}$ 的数量，满足

\forall (x, y) \in E_{T}, (p_{x}, p_{y}) \in E_{G}

$\forall (x,y)\in E_{T},(p_{x},p_{y})\in E_{G}$ （记为条件

A

$A$ ）定义

c o u n t (S)

$count(S)$ 为：序列

p_{i}

$p_{i}$ 的数量（忽略排列的限制），阅读全文

posted @ 2021-03-30 14:47 PYWBKTDA 阅读(50) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atARC115F]Migration

摘要：称

k

$k$ 个物品的位置

(a_{1}, a_{2}, . . ., a_{k})

$(a_{1},a_{2},...,a_{k})$ 为一个状态，并设初始状态为

S

$S$ ，结束状态为

T

$T$ 定义状态的比较：首先根据

\sum_{i = 1}^{k} h_{a_{i}}

$\sum_{i=1}^{k}h_{a_{i}}$ ，即代价小的状态更小，在代价相同时字典序小的状态更小考虑二分答案

m i d

$mid$ ，接下来即判定

S

$S$ 能否在代阅读全文

posted @ 2021-03-29 18:29 PYWBKTDA 阅读(202) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atARC115D]Odd Degree

摘要：考虑对于一棵树

G

$G$ ，这个问题的答案—— 当

k

$k$ 为奇数时答案显然为0，否则从

V

$V$ 中任选

k

$k$ 个点，以任意一点为根，从底往上不难发现子图数量唯一换言之，当

k

$k$ 为偶数时，每一个合法（恰有

k

$k$ 个奇度数的点）子图恰好对应于一种选择方案，即

(\binom{| V |}{k})

${|V|\choose k}$ 当

G

$G$ 是一张连通图时，继阅读全文

posted @ 2021-03-28 21:59 PYWBKTDA 阅读(227) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj2978]杜老师

摘要：假设所有素数从小到大依次为

p_{1}, p_{2}, . . ., p_{k}

$p_{1},p_{2},...,p_{k}$ ，我们将

x

$x$ 转换为一个

k

$k$ 位的二进制数，其中从低到高第

i

$i$ 位为1当且仅当其

p_{i}

$p_{i}$ 的幂次为奇数不难发现以下两个性质： 1.假设

x

$x$ 和

y

$y$ 转换得到的二进制数分别为

x^{'}

$x'$ 和

y^{'}

$y'$ ，则

x y

$xy$ 转换后二进制数为$x 阅读全文

posted @ 2021-03-28 14:22 PYWBKTDA 阅读(91) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[cf1491I]Ruler Of The Zoo

摘要：为了统一描述，下面给出题意—— 有

n

$n$ 只动物，编号为

i

$i$ 的动物有属性

a_{i, j}

$a_{i,j}$ （

0 \leq i < n, 0 \leq j \leq 2

$0\le i<n,0\le j\le 2$ ）初始

n

$n$ 只动物从左到右编号依次为

0, 1, . . ., n - 1

$0,1,...,n-1$ ，重复以下过程：（初始

j = 0

$j=0$ ，假设最左边的两只动物编号依次为

x

$x$ 和

y

$y$ ） 1.比较$a_{ 阅读全文

posted @ 2021-03-28 14:21 PYWBKTDA 阅读(136) 评论(0) 推荐(2) 编辑

[luogu7468]愤怒的小N

摘要：定义

c o u n t (x)

$count(x)$ 为

x

$x$ 二进制下1的个数，答案即

\sum_{0 \leq x < n, c o u n t (x) \equiv 1 (m o d 2)} f (x)

$\sum_{0\le x<n,count(x)\equiv 1(mod\ 2)}f(x)$ 考虑预处理出

S_{k, i, p} = \sum_{0 \leq x < 2^{i}, c o u n t (x) \equiv p (m o d 2)} x^{k}

$S_{k,i,p}=\sum_{0\le x<2^{i},count(x)\equiv p(mod\ 2)}x^{k}$ ，可以对

x

$x$ 最阅读全文

posted @ 2021-03-28 13:13 PYWBKTDA 阅读(121) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atARC114F]Permutation Division

摘要：由于是排列，即任意两个数字都各不相同，因此字典序最大的

q_{i}

$q_{i}$ 就是将每一段的第一个数从大到小排序接下来，考虑第一个元素，也就是每一段开头的最大值，分类讨论： 1.当

p_{1} \leq k

$p_{1}\le k$ 时，取

1, 2, . . ., k

$1,2,...,k$ 为每一段开头是唯一一种可以使

q_{i}

$q_{i}$ 以

k

$k$ 为开头的方案（证明略） 2 阅读全文

posted @ 2021-03-27 18:25 PYWBKTDA 阅读(111) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[uoj173]鏖战表达式

摘要：2018年论文题，上接loj2506，主要是论文中的第4章，也可快速跳至原题解 5.平衡树的嵌套问题平衡树嵌套所谓平衡树嵌套，就是若干棵平衡树，其中若干棵平衡树的根会指向另一颗平衡树上的一个节点定义一棵平衡树的

W

$W$ 为其子树内所有节点的

w_{x}

$w_{x}$ 之和，再定义

w_{x}

$w_{x}$ 为上述指向其的根的阅读全文

posted @ 2021-03-26 21:33 PYWBKTDA 阅读(128) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[cf1168E]Xor Permutations

摘要：（与题目中下标不同，这里令下标为

[0, 2^{k})

$[0,2^{k})$ 来方便运算）根据异或的性质，显然有解的必要条件是

⨁_{i = 0}^{2^{k} - 1} a_{i} = 0

$\bigoplus_{i=0}^{2^{k}-1}a_{i}=0$ 在此基础上，我们考虑构造—— 定义

s o l v e (i, j, x)

$solve(i,j,x)$ 表示在当前

p_{i}

$p_{i}$ 和

q_{i}

$q_{i}$ 的基础上，构造$p'_{ 阅读全文

posted @ 2021-03-26 09:52 PYWBKTDA 阅读(137) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[cf578F]Mirror Box

摘要：构造如下一张无向图： 1.点集大小为

(n + 1) (m + 1)

$(n+1)(m+1)$ ，即所有格点 2.边集大小为

n m

$nm$ ，即所有镜子所连结的两个格点对于一个确定的镜子状态，即可确定上图，那么来考虑什么样的图是合法的结论：如果将这些点黑白染色，显然不存在连结黑色和白色点的边，之后合法当且仅当黑色点恰好构成生成树或白色点恰阅读全文

posted @ 2021-03-26 08:50 PYWBKTDA 阅读(194) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[cf1261F]Xor-Set

摘要：构造一棵权值范围恰为

[0, 2^{60})

$[0,2^{60})$ 的权值线段树，考虑其中从下往上第

h

$h$ 层（

0 \leq h \leq 60

$0\le h\le 60$ ）中的一个区间，假设其左端点为

l

$l$ ，即

[l, l + 2^{h})

$[l,l+2^{h})$ 这样的一个区间具有一个很好的性质，其是按位独立的，即其等价于二进制下最高的

60 - h

$60-h$ 位与

l

$l$ 相同，剩下的

h

$h$ 位任阅读全文

posted @ 2021-03-25 15:37 PYWBKTDA 阅读(57) 评论(0) 推荐(0) 编辑

平衡树与finger search

摘要：1.复杂度分析 Treap 定理1：

n

$n$ 个节点的Treap的期望深度为

o (\log n)

$o(\log n)$ 证明1：假设所有元素从小到大依次为

a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}

$a_{1},a_{2},...,a_{n}$ （不妨假设所有元素各不相同，若有相同可以将这些元素存在同一个位置上），则对于

x

$x$ 和

y

$y$ ，分类讨论： 1.若$x\le y 阅读全文

posted @ 2021-03-25 13:05 PYWBKTDA 阅读(574) 评论(0) 推荐(2) 编辑

[atARC068F]Solitaire

摘要：对于最终的序列

a_{i}

$a_{i}$ ，条件如下： 1.

a_{i}

$a_{i}$ 是一个排列，且

a_{k} = 1

$a_{k}=1$ 2.不存在三元组

1 \leq x < y < z < k

$1\le x<y<z<k$ ，使得

a_{x} < a_{y} < a_{z}

$a_{x}<a_{y}<a_{z}$ 3.

\forall k < x

$\forall k<x$ ，

a_{x} > max_{x < y \leq n} a_{y}

$a_{x}>\max_{x<y\le n}a_{y}$ 或$a_{x}<\max_{ 阅读全文

posted @ 2021-03-16 10:28 PYWBKTDA 阅读(70) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atARC066F]Contest with Drinks Hard

摘要：先不考虑修改，那么很明显即对于每一个极长的的区间，若其长度为

l

$l$ ，有

(\binom{l + 1}{2})

${l+1\choose 2}$ 的贡献考虑dp去做，即

f_{i}

$f_{i}$ 表示前

i

$i$ 个数最大的答案，则$$f_{i}=\max(\max_{0\le j<i}f_{j}+{i-j+1\choose 2}-(sum_{i}-sum_{ 阅读全文

posted @ 2021-03-13 14:58 PYWBKTDA 阅读(94) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[cf1270I]Xor on Figures

摘要：考虑一个构造：令初始

2^{k} \times 2^{k}

$2^{k}\times 2^{k}$ 的矩阵为

A

$A$ （下标从0开始），再构造一个矩阵

T

$T$ ，满足仅有

T_{x_{i}, y_{i}} = 1

$T_{x_{i},y_{i}}=1$ （其余位置都为0），定义矩阵卷积

\otimes

$\otimes$ 即$$(A\otimes B)_{x,y}=\bigoplus_{x_{1}+x_{2}\e 阅读全文

posted @ 2021-03-12 14:57 PYWBKTDA 阅读(84) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[cf516D]Drazil and Morning Exercise

摘要：令

f_{k}

$f_{k}$ 为离

k

$k$ 最远的点到

k

$k$ 的距离，任取树的一条直径

(x, y)

$(x,y)$ ，有

f_{k} = max (d i s (k, x), d i s (k, y))

$f_{k}=\max(dis(k,x),dis(k,y))$ 更进一步的，取直径中点

m i d

$mid$ （这里定义为

f_{m i d}

$f_{mid}$ 最小的点，有多个任取一点）并以其为根建树，则所有节点儿子的

f

$f$ 不小于父亲的

f

$f$ 根据这阅读全文

posted @ 2021-03-12 09:24 PYWBKTDA 阅读(128) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[cf1236F]Alice and the Cactus

摘要：首先，我们要用到期望的一个性质：对于两个随机变量

X

$X$ 和

Y

$Y$ （不需要相互独立），有

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ 另外，对于一个仙人掌，令

n

$n$ 为点数，

m

$m$ 为边数，

c

$c$ 为简单环个数，

X

$X$ 为连通块数，则

X = n - (m - c)

$X=n-(m-c)$ （环可以看作有一条无意义的边，对于森林点-边即为连通块数）我阅读全文

posted @ 2021-03-11 10:38 PYWBKTDA 阅读(105) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj2461]完美的队列

摘要：参考论文，这里一共写了论文中的3种做法，第一种做法为强制在线时的做法，第二种为时间复杂度略高的做法（前两种都无法通过），第三种为本题正解，并给出了一种理论复杂度更优的做法 1.做法1 情况1

\forall 1 \leq i \leq n, a_{i} = 1

$\forall 1\le i\le n,a_{i}=1$ 此时相当于维护一个序列，要求支持区间覆盖&求值的阅读全文

posted @ 2021-03-10 14:18 PYWBKTDA 阅读(279) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[luogu5577]算力训练

摘要：（以下以

B

$B$ 为进制，

m

$m$ 为幂次，

n = B^{m}

$n=B^{m}$ ）定义

\oplus

$\oplus$ 为

k

$k$ 进制下不进位加法，

\otimes

$\otimes$ 为

\oplus

$\oplus$ 卷积令

f_{i, j}

$f_{i,j}$ 表示前

i

$i$ 个数的

\oplus

$\oplus$ 之和为

j

$j$ 的子序列数，再令

g_{i, j} = [j = 0] + [j = a_{i}]

$g_{i,j}=[j=0]+[j=a_{i}]$ （

a_{i}

$a_{i}$ 为给定阅读全文

posted @ 2021-03-08 10:59 PYWBKTDA 阅读(107) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[cf1103E]Radix sum

摘要：类似于uoj272，即

B = 10

$B=10$ 的情况，然后有以下几个细节问题： 1.答案对

2^{58}

$2^{58}$ 取模可以先使用自然溢出模

2^{64}

$2^{64}$ ，最后对

2^{58}

$2^{58}$ 取模即可 2.为了避免实数，令

ω = \cos \frac{2 π}{10} + \sin \frac{2 π}{10} i

$\omega=\cos\frac{2\pi}{10}+\sin\frac{2\pi}{10}i$ ，初始每一个数阅读全文

posted @ 2021-03-06 15:28 PYWBKTDA 阅读(87) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[uoj272]石家庄的工人阶级队伍比较坚强

摘要：假设

x, y \in {0, 1, 2}

$x,y\in \{0,1,2\}$ ，则

x

$x$ 能赢

y

$y$ （根据题中定义）当且仅当

x - y \equiv 1 (m o d 3)

$x-y\equiv 1(mod\ 3)$ 定义

⊖

$\ominus$ 为两数3进制下不退位的减法，

S_{x}

$S_{x}$ 表示

x

$x$ 在3进制下1的个数，则

u = W (x, y) = S_{x ⊖ y}

$u=W(x,y)=S_{x\ominus y}$ ，类似地，有$v=W(y, 阅读全文

posted @ 2021-03-06 13:08 PYWBKTDA 阅读(170) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj6271]生成树求和

摘要：将每一位拆开考虑，即不妨假设

0 \leq c < 3

$0\le c<3$ 考虑矩阵树定理，即统计所有生成树边权乘积的和，但我们这里要将边权相加，很明显将其作为幂次（如果作为

c x + 1

$cx+1$ 无法对3取模）更具体的，也就是将每一个位置从1变为

x^{c}

$x^{c}$ ，系数对

10^{9} + 7

$10^{9}+7$ 取模，相乘时幂次对3取模另外，高斯消元时需要阅读全文

posted @ 2021-03-04 16:12 PYWBKTDA 阅读(172) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[cf1209E]Rotate Columns

摘要：题意也可以理解为这样一个过程：对于每一列，将其旋转后选出若干行上的数，要求与之前的行都不同用

g_{i, S}

$g_{i,S}$ 表示第

i

$i$ 列选出的行数集合为

S

$S$ 的最大和，

f_{i, S}

$f_{i,S}$ 表示前

i

$i$ 列

S

$S$ 中的行已经选择的最大和，转移通过枚举子集，复杂度为

o (Q m 3^{n})

$o(Qm3^{n})$ 关于

g_{i, S}

$g_{i,S}$ 的计阅读全文

posted @ 2021-03-03 17:58 PYWBKTDA 阅读(81) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[cf1491H]Yuezheng Ling and Dynamic Tree

摘要：将其按照区间分块（即

[(i - 1) K + 1, i K]

$[(i-1)K+1,iK]$ 作为一个块），并定义

f_{x}

$f_{x}$ 表示

x

$x$ 的祖先中编号最小且与

x

$x$ 在同一个块内的节点，

f_{x}

$f_{x}$ 可以通过

f_{a_{x}}

$f_{a_{x}}$ 转移，即$f_{x}=\begin{cases}f_{a_{x}}\ \ \ (x与a_{x}在一个块中)\\x\ 阅读全文

posted @ 2021-03-03 13:07 PYWBKTDA 阅读(183) 评论(2) 推荐(1) 编辑

[atARC064F]Rotated Palindromes

摘要：（长度为

n

$n$ 的序列

a_{i}

$a_{i}$ ，下标范围为

[0, n)

$[0,n)$ ，且用字符串的方式即

a_{[l, r]}

$a_{[l,r]}$ 来表示子区间）定义一个长为

n

$n$ 的序列

a_{i}

$a_{i}$ 的周期为的

l

$l$ 满足

l | n

$l|n$ 且

\forall l \leq i < n, a_{i} = a_{i + l}

$\forall l\le i<n,a_{i}=a_{i+l}$ （这里不同于普通周期的定义，普通周期定义是没有$ 阅读全文

posted @ 2021-03-03 10:38 PYWBKTDA 阅读(85) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[cf1491G]Switch and Flip

摘要：将其连有向边

(i, c_{i})

$(i,c_{i})$ ，由于每一个点出入度都为1，那么必然构成若干个环对于每一个环，从一点出发，将搜到的点依次记录下来（直至返回自己），记作

v_{1}, v_{2}, . . ., v_{k}

$v_{1},v_{2},...,v_{k}$ ，那么就有

c_{v_{i}} = v_{i + 1}

$c_{v_{i}}=v_{i+1}$ （特别的，

c_{v_{k}} = v_{1}

$c_{v_{k}}=v_{1}$ ）显然阅读全文

posted @ 2021-03-02 21:11 PYWBKTDA 阅读(151) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[cf1491F]Magnets

摘要：首先，只需要找到一个有磁性的位置，就可以通过

n - 1

$n-1$ 次判断其余磁铁是否有磁性，因此也就是要在

⌊ \log_{2} n ⌋ + 1

$\lfloor\log_{2}n\rfloor+1$ 次中找到一个有磁性的位置有一个

n - 1

$n-1$ 次的做法，即暴力枚举第

i

$i$ 个磁铁（

i \geq 2

$i\ge 2$ ），将1到

i - 1

$i-1$ 的磁铁放在左侧，那么一定能找到第2个有阅读全文

posted @ 2021-03-02 16:06 PYWBKTDA 阅读(92) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atARC063F]Snuke's Coloring 2

摘要：首先，可以通过将所有

x_{i} = 0

$x_{i}=0$ 都选择第1类，其余选第2类，构造出一个以

(0, 0)

$(0,0)$ 和

(1, h)

$(1,h)$ 为左下角和右上角的矩形，答案即为

2 h + 2

$2h+2$ ，类似地还可以构造出

2 w + 2

$2w+2$ 若最终的矩形不包含与

x = \frac{w}{2}

$x=\frac{w}{2}$ 或

y = \frac{h}{2}

$y=\frac{h}{2}$ ，那么意味着答案不超过

w + h

$w+h$ 阅读全文

posted @ 2021-03-01 15:50 PYWBKTDA 阅读(70) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atARC062F]Painting Graphs with AtCoDeer

摘要：求出点双后缩点，对于点双之间，显然不存在简单环，即每一个简单环一定在一个点双内部，换言之即每一个点双可以独立的考虑，然后将结果相乘（对于点双之间的边任意染色，即若有

s

$s$ 条边，还会有

k^{s}

$k^{s}$ 的贡献）对点双分类讨论（假设其有

n

$n$ 个节点，

m

$m$ 条边）： 1.

n = 2

$n=2$ 且

m = 1

$m=1$ （也就是两点阅读全文

posted @ 2021-03-01 12:07 PYWBKTDA 阅读(90) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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