2021 年 1月随笔档案 - PYWBKTDA

摘要：对每一个节点用二元组

(p, v)

$(p,v)$ 表示，其中

p

$p$ 是其是父亲的左（0）还是右（1）儿子，

v

$v$ 是其父亲的点权

x

$x$ 合法当且仅当：对于其到根路径上所有

(0, v)

$(0,v)$ 都有

a_{x} < v

$a_{x}<v$ 、

(1, v)

$(1,v)$ 都有

a_{x} > v

$a_{x}>v$ 用树链剖分+线段树来维护这些二元组，即求出

(0, v)

$(0,v)$ 的区间最小值和$( 阅读全文

posted @ 2021-01-27 10:06 PYWBKTDA 阅读(184) 评论(0) 推荐(2) 编辑

[luogu3781]切树游戏

摘要：考虑暴力的dp，即用

f_{i, j}

$f_{i,j}$ 表示以

i

$i$ 为根的子树内，强制

i

$i$ 必须选且异或为

j

$j$ 的方案数，转移用FWT即可，求出该dp数组的时间复杂度为

o (n m \log_{2} m)

$o(nm\log_{2}m)$ 由于是全局的方案数，再记录一个

s u m_{i, j} = f_{i, j} + \sum_{s o n} s u m_{s o n, j}

$sum_{i,j}=f_{i,j}+\sum_{son}sum_{son,j}$ ，那阅读全文

posted @ 2021-01-27 09:12 PYWBKTDA 阅读(130) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atAGC050B]Three Coins

摘要：记

p_{i}

$p_{i}$ 表示该位置是否有硬币称使得

p_{i, i + 1, i + 2}

$p_{i,i+1,i+2}$ 都变为1的操为对

i

$i$ 的添加操作，使得

p_{i, i + 1, i + 2}

$p_{i,i+1,i+2}$ 都变为0的操作为对

i

$i$ 的删除操作考虑一个简单的操作：若

p_{i} = 1

$p_{i}=1$ ，且

p_{i + 1} = p_{i + 2} = p_{i + 3} = 0

$p_{i+1}=p_{i+2}=p_{i+3}=0$ ，可以通过执行对$i+1 阅读全文

posted @ 2021-01-25 20:50 PYWBKTDA 阅读(222) 评论(2) 推荐(0) 编辑

[loj2462]完美的集合

摘要：不难证明，能作为测试装置的

x

$x$ 构成一个连通块（或为空）在此基础上，利用非空连通块点数-边数=1进行统计，具体即—— 假设有

f_{x}

$f_{x}$ 个

S

$S$ 能以

x

$x$ 作为测试装置

, g_{(x, y)}

$,g_{(x,y)}$ 个

S

$S$ 能同时以

x

$x$ 和

y

$y$ 作为测试装置，则答案为$$\sum_{x\in V}{f_{x}\choos 阅读全文

posted @ 2021-01-25 14:09 PYWBKTDA 阅读(239) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[bzoj4182]Shopping

摘要：题目连接暴力dp时间复杂度为

o (n m^{2})

$o(nm^{2})$ ，是不行的考虑当我们强制该连通块包含根，可以直接在dfs序上dp，即若该点选则考虑从

f_{i + 1}

$f_{i+1}$ 转移，否则从其子树所对应区间右端点+1来转移（即

f_{d f n_{x} + s z_{x}}

$f_{dfn_{x}+sz_{x}}$ ），利用单调队列优化可做到

o (n m)

$o(nm)$ 之后对其点分治阅读全文

posted @ 2021-01-23 16:43 PYWBKTDA 阅读(77) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[luogu5294]序列

摘要：也是一道保序回归的题，但思路不同于论文中模板题考虑两个开口向上的二次函数

f (x)

$f(x)$ 和

g (x)

$g(x)$ ，求任意实数

x, y

$x,y$ 满足

x \leq y

$x\le y$ 且最小化

f (x) + g (y)

$f(x)+g(y)$ ，这个最小值可以分类讨论求出： 1.若

f (x)

$f(x)$ 最小值位置小于等于

g (x)

$g(x)$ 的最小值位置，显然都取最小值即可； 2.若$f( 阅读全文

posted @ 2021-01-23 13:25 PYWBKTDA 阅读(115) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atAGC050A]AtCoder Jumper

摘要：考虑二叉树的结构，但并不容易构造从叶子返回的边（以下为了方便，将所有点编号为

[0, n)

$[0,n)$ ）对于

i

$i$ ，选择

2 i m o d n

$2i\ mod\ n$ 和

(2 i + 1) m o d n

$(2i+1)\ mod\ n$ 这两条出边从二叉树的角度并不容易证明正确性，可以先将取模去掉，那么两点相同当且仅当模

n

$n$ 后相同而10步以内，

i

$i$ 可以走到$ 阅读全文

posted @ 2021-01-22 16:17 PYWBKTDA 阅读(119) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atARC078F]Mole and Abandoned Mine

摘要：注意到最终图的样子可以看作一条从1到

n

$n$ 的路径，以及删去这条路径上的边后，路径上的每一个点所对应的一个连通块考虑dp，令

f_{S, i}

$f_{S,i}$ 表示当前1到

n

$n$ 路径上的最后一个点以及之前点（包括

i

$i$ ）所对应连通块的并，转移考虑枚举下一个点以及其对应的连通块，即$f_{S\cup T,j}=\min 阅读全文

posted @ 2021-01-22 15:13 PYWBKTDA 阅读(89) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atARC111F]Do you like query problems

摘要：（以下修改指1和2类操作，询问指3类操作，操作指修改或询问）注意到总方案数确定，那么不妨求出答案的期望，再乘上方案数即为答案（这里从期望的角度考虑只是为了描述方便，并没有太大的实际意义）设

E (t)

$E(t)$ 为对某一个位置执行

t

$t$ 次修改（指对该点）后该位置的期望，通过概率去求，即设

P (t, i)

$P(t,i)$ 表阅读全文

posted @ 2021-01-22 09:34 PYWBKTDA 阅读(227) 评论(0) 推荐(1) 编辑

[loj539]旅游路线

摘要：考虑枚举加油的位置，当确定某次在第

i

$i$ 个位置加油后，且下一次到

j

$j$ 加油，那么

i

$i$ 到

j

$j$ 必然会选择不超过

c_{i}

$c_{i}$ 条边且最长的路径，记作

d_{i, j}

$d_{i,j}$ 如果能求出

d_{i, j}

$d_{i,j}$ ，再设

f_{q, i}

$f_{q,i}$ 表示

q

$q$ 元（恰好用完）从

i

$i$ 出发的最长路，枚举

i

$i$ 之后那一次加油点即可转移，阅读全文

posted @ 2021-01-21 15:31 PYWBKTDA 阅读(122) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atARC111E]Simple Math 3

摘要：首先，必然要有

(a + c i) - (a + b i) + 1 < d

$(a+ci)-(a+bi)+1<d$ ，因此

(c - b) i \leq d - 2

$(c-b)i\le d-2$ ，即

i \leq ⌊ \frac{d - 2}{c - b} ⌋

$i\le \lfloor\frac{d-2}{c-b}\rfloor$ 此时，

[a + b i, a + c i]

$[a+bi,a+ci]$ 中不存在

d

$d$ 的倍数，当且仅当$\lfloor\frac{a+bi-1}{d}\rfloor=\lfl 阅读全文

posted @ 2021-01-21 14:03 PYWBKTDA 阅读(168) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[luogu6702]Path

摘要：维护每一个点到根路径的异或和（记作

d_{k}

$d_{k}$ ），根据异或自反性，

(x, y)

$(x,y)$ 的异或和即

d_{x} \oplus d_{y}

$d_{x}\oplus d_{y}$ 考虑两条路径的lca，选择其中深度较大的点，另一条路径必然在其子树外，枚举这个点，分别统计子树内外异或和最大的路径对于子树内，用启发式合并trie树，在合并时顺便统计阅读全文

posted @ 2021-01-20 15:21 PYWBKTDA 阅读(99) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj6433]最大前缀和

摘要：考虑去枚举这个构成最大前缀和的集合

S

$S$ ，那么限制分为两条： 1.前

| S |

$|S|$ 个元素都属于

S

$S$ ，且任意非空前缀和都小于

s u m (S)

$sum(S)$ （其中

s u m (S)

$sum(S)$ 表示

S

$S$ 中元素之和）（这里的小于是避免统计重复，强制要求最长的前缀） 2.后

n - | S |

$n-|S|$ 个元素都不属于

S

$S$ ，且最大前缀和为0（允许为空）阅读全文

posted @ 2021-01-20 14:14 PYWBKTDA 阅读(146) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[cf1379F]Chess Strikes Back

摘要：考虑将

(2 i - 1, 2 j - 1)

$(2i-1,2j-1)$ 和

(2 i, 2 j)

$(2i,2j)$ 缩为一个点，记作

(i, j)

$(i,j)$ 对于每一个点，只能选

(2 i - 1, 2 j - 1)

$(2i-1,2j-1)$ 或

(2 i, 2 j)

$(2i,2j)$ （显然不能都选），而这样恰好为

n m

$nm$ 个，因此必须要至少选择一个对于每一个点，障碍的状态分为以下几类： 1.无障碍，这类点暂时不考虑 2.都有障碍，阅读全文

posted @ 2021-01-20 11:05 PYWBKTDA 阅读(131) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj2470]有向图

摘要：参考ExtremeSpanningTrees，考虑优化整体二分时求

g_{i} \in {w_{m i d}, w_{m i d + 1}}

$g_{i}\in \{w_{mid},w_{mid+1}\}$ 的最优解对于

m = n - 1

$m=n-1$ 的问题，不需要去网络流，可以直接树形dp 但为了保证复杂度，我们在整体二分中的复杂度只能是

o (点 集 大 小)

$o(点集大小)$ ，这样可能就比较麻烦首先要建出虚阅读全文

posted @ 2021-01-19 11:00 PYWBKTDA 阅读(136) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj6518]序列

摘要：参考ExtremeSpanningTrees，考虑优化整体二分时求

g_{i} \in {w_{m i d}, w_{m i d + 1}}

$g_{i}\in \{w_{mid},w_{mid+1}\}$ 的最优解首先题目有一个条件似乎没有写出来，是保证

l \leq k \leq r

$l\le k\le r$ 的（但并不是特别重要，可能更方便）可以发现只关心于

k

$k$ 属于当前考虑的点集中的询问即可，因此阅读全文

posted @ 2021-01-18 13:31 PYWBKTDA 阅读(130) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj2842]野猪

摘要：首先，并不一定走“除了上一次来的边”以外的最短路，但考虑“除了上一次来的边”以外的最短路和次短路（这里的次短路指最后一条边与最短路不同的“最短路”），必然是走这两者之一（”除了上一次来的边“指第一步不走上一次来的边）证明很显然，因为如果最短路不好必然是因为下一次需要先走最短路那条边，那么这次走次阅读全文

posted @ 2021-01-13 07:53 PYWBKTDA 阅读(171) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atARC077F]SS

摘要：（以下字符串下标从0开始，并定义

2 s = s + s

$2s=s+s$ ）考虑

f (S)

$f(S)$ ，即令

l = max_{2 i < | S | 且 S [0, i) = S [| S | - i, | S |)]} i

$l=\max_{2i<|S|且S[0,i)=S[|S|-i,|S|)]}i$ ，则

f (S) = S + S [l, | S | - l)

$f(S)=S+S[l,|S|-l)$ 由于次数足够多，先做一次

S = f (S)

$S=f(S)$ 不影响答案，因此假设原串为

2 S

$2S$ （这个

S

$S$ 不同于初始的

S

$S$ 阅读全文

posted @ 2021-01-12 12:10 PYWBKTDA 阅读(127) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[tc14634]ExtremeSpanningTrees

摘要：保序回归论文题要求某一个边集为原图的最小生成树，这等价于非树边比所在环（指树上）的所有边小，最大生成树类似将这些大小关系的限制看作一张有向图，即若要求

w_{i} \leq w_{j}

$w_{i}\le w_{j}$ 则连边

(i, j)

$(i,j)$ ，设

w_{i}

$w_{i}$ 为初始边权，即要求构造

f_{i}

$f_{i}$ 满足$\forall (i,j)\in 阅读全文

posted @ 2021-01-11 15:47 PYWBKTDA 阅读(161) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[luogu3600]随机数生成器

摘要：令

P (k)

$P(k)$ 表示最小值的最大值小于等于

k

$k$ 的概率，答案即为

\sum_{i = 1}^{x} (P (i) - P (i - 1)) i = x - \sum_{i = 1}^{x - 1} P (i)

$\sum_{i=1}^{x}(P(i)-P(i-1))i=x-\sum_{i=1}^{x-1}P(i)$ （其中利用到

P (x) = 1

$P(x)=1$ 且

P (0) = 0

$P(0)=0$ ）

P (k)

$P(k)$ 的意义就是让每一个区间内都有一个小于等于

k

$k$ 的数，考虑如何求出这个概阅读全文

posted @ 2021-01-11 09:09 PYWBKTDA 阅读(112) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atARC076E]Connected

摘要：首先，如果没有这个平面的限制，考虑不断插入一对点，将与这两点连线有交的线从左到右，依次“移动”到左端点边上，因此一定是可行的但当存在界限后，对于两个端点都在边界上的点对（一个端点在边界上还是可以用同样的构造），需要判断是否存在合法解：如果将整个边界看作一个环，若存在两个点对

i

$i$ 和

j

$j$ 满足以$ 阅读全文

posted @ 2021-01-08 19:18 PYWBKTDA 阅读(93) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atARC075F]Mirrored

摘要：假设

n = \sum_{i = 0}^{k} a_{i} 10^{i}

$n=\sum_{i=0}^{k}a_{i}10^{i}$ （其中

a_{k} > 0

$a_{k}>0$ ），则有

d = f (n) - n = \sum_{i = 0}^{k} (10^{k - i} - 10^{i}) a_{i}

$d=f(n)-n=\sum_{i=0}^{k}(10^{k-i}-10^{i})a_{i}$ ，考虑

i

$i$ 和

k - i

$k-i$ ，不难化简得到$d=\sum_{i=0}^{\lfloor\frac{k-1}{2}\r 阅读全文

posted @ 2021-01-08 16:30 PYWBKTDA 阅读(100) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj6500]操作

摘要：差分，令

b_{i} = a_{i - 1} \oplus a_{i}

$b_{i}=a_{i-1}\oplus a_{i}$ ，对于一个区间

[l, r]

$[l,r]$ ，相当于令

a_{l - 1} = a_{r + 1} = 0

$a_{l-1}=a_{r+1}=0$ 之后求出

b_{l . . r + 1}

$b_{l..r+1}$ ，对区间

[i - k, i)

$[i-k,i)$ 异或1这个操作可以看作令

b_{i}

$b_{i}$ 和

b_{i - k}

$b_{i-k}$ 异或1，要求使得

b_{i}

$b_{i}$ 全部为0 这就相阅读全文

posted @ 2021-01-07 10:20 PYWBKTDA 阅读(110) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[uoj576]服务调度

摘要：先考虑一个子问题：仅有一个询问且无修改对每一种颜色的贡献分类讨论，结论：最远的点一定这些点集中（任意一组）最远点对中的两个点（选择较远的一个）证明：设

d i s (x, y)

$dis(x,y)$ 为

x

$x$ 到

y

$y$ 的距离，

d e e p_{x}

$deep_{x}$ 表示以

k

$k$ 为根时

x

$x$ 的深度假设这个点集中最远点为

(x, y)

$(x,y)$ ，而最深的点为阅读全文

posted @ 2021-01-07 08:27 PYWBKTDA 阅读(182) 评论(2) 推荐(0) 编辑

[atAGC051D]C4

摘要：考虑将两次移动作为一个整体，两次移动的效果分为：

s - u

$s-u$ 、

u - s

$u-s$ 和原地不动对于从

s

$s$ 回到

s

$s$ 路径，必然有前两种效果使用次数相同，假设都为

i

$i$ （枚举），那么原地不动的次数

j = \frac{a + b + c + d}{2} - i

$j=\frac{a+b+c+d}{2}-i$

2 i

$2i$ 次中使用

t

$t$ 来移动的次数

x

$x$ ，那么使用

v

$v$ 的次数即为$y 阅读全文

posted @ 2021-01-05 19:28 PYWBKTDA 阅读(273) 评论(0) 推荐(1) 编辑

[atAGC051C]Flipper

摘要：对于这一个平面用

a_{x, y}

$a_{x,y}$ 来表示，即

(x, y)

$(x,y)$ 为黑色则

a_{x, y} = 1

$a_{x,y}=1$ ，否则

a_{x, y} = 0

$a_{x,y}=0$ ，之后定义

a

$a$ 能生成

b

$b$ 当且仅当

a

$a$ 能够通过若干次操作后得到

b

$b$ 令

p_{y} = ⨁_{x} a_{x, y}

$p_{y}=\bigoplus_{x}a_{x,y}$ 、$q_{x,i}=\bigoplus_{y\equ 阅读全文

posted @ 2021-01-05 17:27 PYWBKTDA 阅读(306) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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