2020 年 12月随笔档案 - PYWBKTDA

摘要：（数据范围的公式渲染有一些问题，大概是

a \leq b \leq 100

$a\le b\le 100$ ）同洛谷4548，推导过程省略，直接给出答案—— 令

p_{H} = \frac{b}{a}

$p_{H}=\frac{b}{a}$ ，

p_{T} = \frac{b}{b - a}

$p_{T}=\frac{b}{b-a}$ ，则

p r e_{i} = \prod_{j = 0}^{i - 1} P_{s_{j}}

$pre_{i}=\prod_{j=0}^{i-1}P_{s_{j}}$ （

s

$s$ 下标从为$[ 阅读全文

posted @ 2020-12-31 15:34 PYWBKTDA 阅读(193) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[luogu3706]硬币游戏

摘要：（可以参考洛谷4548，推导过程较为省略）定义

g_{i}

$g_{i}$ 表示随机

i

$i$ 次后未出现给定字符串的概率，

f_{k, i}

$f_{k,i}$ 表示随机

i

$i$ 次后恰好出现

s_{k}

$s_{k}$ （指第

k

$k$ 个字符串）的概率，设两者的生成函数分别为

G (x)

$G(x)$ 和

F_{k} (x)

$F_{k}(x)$ 同样，考虑如何去表示$P(前i个字符中未出现给定字阅读全文

posted @ 2020-12-30 21:46 PYWBKTDA 阅读(121) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[luogu4548]歌唱王国

摘要：记

g_{i}

$g_{i}$ 表示长度为

i

$i$ 且不存在

s

$s$ 的字符串数量

, f_{i}

$,f_{i}$ 表示仅在末尾出现

s

$s$ 的字符串数量对所有满足

g_{i}

$g_{i}$ 中性质的字符串末尾加上

s

$s$ ，显然上述字符串仍有

g_{i}

$g_{i}$ 个另一方面，枚举其中第一次出现

s

$s$ 的位置

i + l

$i+l$ ，对应的字符串恰有

f_{i + l}

$f_{i+l}$ 个同时，$s 阅读全文

posted @ 2020-12-30 15:17 PYWBKTDA 阅读(97) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[hdu4652]Dice

摘要：（首先这道题有更为简单的dp+差分的做法，但以下为概率生成函数的做法）第一问：定义

f_{i}

$f_{i}$ 表示（恰好）在第

i

$i$ 个数结束的概率，

g_{i}

$g_{i}$ 表示前

i

$i$ 个数仍未结束的概率，则有$\frac{g_{i}}{m^{n-1}}=\sum_{j=1}^{n}\frac{f_{i+j}}{m^{n 阅读全文

posted @ 2020-12-30 14:02 PYWBKTDA 阅读(114) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atAGC013F]Two Faced Cards

摘要：先对

c_{i}

$c_{i}$ 离散到

[0, n]

$[0,n]$ 上，并令

a_{i}, b_{i}, d_{i}, e_{i}

$a_{i},b_{i},d_{i},e_{i}$ 对应到第一个大于等于他的数考虑若

a_{n + 1}

$a_{n+1}$ 和

b_{n + 1}

$b_{n+1}$ 也已经确定如何做：有一个

o (2^{n})

$o(2^{n})$ 的暴力，即暴力确定每一个数是选择

a_{i}

$a_{i}$ 还是

b_{i}

$b_{i}$ ，记这些数依次为$p_ 阅读全文

posted @ 2020-12-30 09:19 PYWBKTDA 阅读(151) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atAGC045F]Division into Multiples

摘要：令

d = gcd (a, b)

$d=\gcd(a,b)$ ，可以发现

c | (a x + b y)

$c|(ax+by)$ 等价于

l c m (c, d) | (a x + b y)

$lcm(c,d)|(ax+by)$ ，因此不妨令

c^{'} = l c m (c, d)

$c'=lcm(c,d)$ ，然后将

a

$a$ 、

b

$b$ 和

c

$c$ 同时除以

d

$d$ 接下来设

(a, c) = d_{1}

$(a,c)=d_{1}$ ，根据整除的传递性有

d_{1} | (a x + b y)

$d_{1}|(ax+by)$ ，由于

d_{1} | a x

$d_{1}|ax$ ，可阅读全文

posted @ 2020-12-28 11:00 PYWBKTDA 阅读(162) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atAGC045E]Fragile Balls

摘要：构造一张有向图

G = ([1, n], {(a_{i}, b_{i})})

$G=([1,n],\{(a_{i},b_{i})\})$ （可以有重边和自环），定义其连通块为将其看作无向图（即边无向）后分为若干个连通块记

i n_{i}

$in_{i}$ 为

i

$i$ 的入度（即最终盒子中球的数量）、

o u t_{i}

$out_{i}$ 为

i

$i$ 的出度（即初始盒子中球的数量），对于

i n_{i} = 0

$in_{i}=0$ 的点，阅读全文

posted @ 2020-12-26 08:23 PYWBKTDA 阅读(230) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atAGC045D]Lamps and Buttons

摘要：由于

p_{i}

$p_{i}$ 是随机的，不断选择最小的、未被操作过的

i

$i$ 并处理其所在的环一定是最优的，而这样与已知

p_{i}

$p_{i}$ 的区别是，当选择了一个

i = p_{i}

$i=p_{i}$ ，那么必然失败（而已知

p_{i}

$p_{i}$ 时不会去选择）考虑令

t = min_{p_{i} = i 或 i = A + 1} i

$t=\min_{p_{i}=i或i=A+1}i$ ，我们只能操作到

t - 1

$t-1$ 为止，因阅读全文

posted @ 2020-12-25 10:39 PYWBKTDA 阅读(190) 评论(0) 推荐(2) 编辑

[luogu5574]任务分配问题

摘要：首先暴力dp，令

f_{i, j}

$f_{i,j}$ 表示前

i

$i$ 个点划分为

j

$j$ 段，即有转移

f_{i, j} = min f_{k - 1, j - 1} + c a l c (k, i)

$f_{i,j}=\min f_{k-1,j-1}+calc(k,i)$ （其中

c a l c (i, j)

$calc(i,j)$ 表示求区间

[i, j]

$[i,j]$ 的顺序对数）可以先枚举

j

$j$ ，记

g_{i} = f_{i, j - 1}

$g_{i}=f_{i,j-1}$ ，则$f_{i}=\min g_{ 阅读全文

posted @ 2020-12-24 12:02 PYWBKTDA 阅读(139) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[luogu4331]数字序列

摘要：令

a_{i}^{'} = a_{i} + n - i

$a'_{i}=a_{i}+n-i$ 、

b_{i}^{'} = b_{i} + n - i

$b'_{i}=b_{i}+n-i$ ，代价仍然是

\sum_{i = 1}^{n} | a_{i}^{'} - b_{i}^{'} |

$\sum_{i=1}^{n}|a'_{i}-b'_{i}|$ ，但条件变为了

b_{i}^{'} \leq b_{i + 1}^{'}

$b'_{i}\le b'_{i+1}$ ，即不下降（以下为了方便，

a_{i}^{'}

$a'_{i}$ 和

b_{i}^{'}

$b'_{i}$ 仍然用

a_{i}

$a_{i}$ 和

b_{i}

$b_{i}$ 阅读全文

posted @ 2020-12-23 18:56 PYWBKTDA 阅读(144) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[cf1285F]Classical

摘要：先枚举

d = gcd

$d=\gcd$ ，然后暴力枚举所有

d

$d$ 的倍数，相当于求出若干个数中最大的互素对假设选出的数依从大到小排序后为

a_{i}

$a_{i}$ ，令

g_{i} = min_{(a_{i}, a_{j}) = 1} j

$g_{i}=\min_{(a_{i},a_{j})=1}j$ ，则答案为

max a_{i} \cdot a_{g_{i}}

$\max a_{i}\cdot a_{g_{i}}$ 考虑一种比较奇怪的计算

g_{i}

$g_{i}$ 阅读全文

posted @ 2020-12-23 13:38 PYWBKTDA 阅读(90) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atAGC045C]Range Set

摘要：首先我们可以把所有位置都变为1，因此不妨假设

a \leq b

$a\le b$ 一个字符串

s

$s$ 合法当且仅当：将其中每一段长度不小于

a

$a$ 的0变成1后，存在一段1的长度都不小于

b

$b$ 证明：我们称

S_{a, b}

$S_{a,b}$ 为通过

(a, b)

$(a,b)$ 能产生的字符串所构成的集合，则有

S_{a, b} = S_{b, a}

$S_{a,b}=S_{b,a}$ 称原来的字符串为阅读全文

posted @ 2020-12-22 14:33 PYWBKTDA 阅读(164) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atAGC045B]01 Unbalanced

摘要：将0变为-1后求前缀和，那么

s

$s$ 的价值即为最大的前缀和-最小的前缀和（特别的，空前缀的前缀和为0）令

f (x)

$f(x)$ 表示当最大的前缀和不大于

x

$x$ 时，最小的前缀和最大是多少，答案即为

min_{x} x - f (x)

$\min_{x}x-f(x)$ 考虑如何求

f (x)

$f(x)$ ，可以贪心，先令所有位置都为-1，记最大的前缀和为

k

$k$ （要有阅读全文

posted @ 2020-12-21 15:51 PYWBKTDA 阅读(178) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atAGC046F]Forbidden Tournament

摘要：称满足第1个条件的图为竞赛图，先来分析竞赛图结论1：竞赛图点集上的导出子图也为竞赛图（证明略）结论2：对于一张竞赛图，若不含有3元环，则该图为DAG 证明：反证法，若其不为DAG，设最小的简单环为

c_{1}, c_{2}, . . ., c_{k}

$c_{1},c_{2},...,c_{k}$ ，必然有

k \geq 4

$k\ge 4$ 根据第1个条件，考虑$c_{ 阅读全文

posted @ 2020-12-20 12:30 PYWBKTDA 阅读(188) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[loj2850]无进位加法

摘要：（似乎漏了一个数据范围，cf上的题面中还有

\sum L \leq 3 \cdot 10^{5}

$\sum L\le 3\cdot 10^{5}$ ）考虑

a_{i} = 2^{k_{i}}

$a_{i}=2^{k_{i}}$ 时（不妨

k_{1} \geq k_{2} \geq . . . \geq k_{n}

$k_{1}\ge k_{2}\ge ...\ge k_{n}$ ），记

\sum_{i = 1}^{n} b_{i}

$\sum_{i=1}^{n}b_{i}$ 的最高位为

L_{b}

$L_{b}$ ，则有$L_{b}=\ 阅读全文

posted @ 2020-12-19 12:30 PYWBKTDA 阅读(369) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atAGC045A]Xor Battle

摘要：令

f_{i}

$f_{i}$ （一个集合）表示当第

i

$i$ 步开始时第0方必胜当且仅当

x \in f_{i}

$x\in f_{i}$ ，初始

f_{n + 1} = {0}

$f_{n+1}=\{0\}$ 当

p_{i} = 0

$p_{i}=0$ 时，

f_{i} = {x | x \in f_{i + 1} 或 (x \oplus a_{i}) \in f_{i + 1}}

$f_{i}=\{x|x\in f_{i+1}或(x\oplus a_{i})\in f_{i+1}\}$ ；当

p_{i} = 1

$p_{i}=1$ ，$f_{i}=\ 阅读全文

posted @ 2020-12-17 18:43 PYWBKTDA 阅读(148) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[luogu7116]微信步数

摘要：先判定无解，当且仅当存在一个位置使得移动

n

$n$ 步后没有结束且仍在原地暴力枚举移动的步数，记

S_{i}

$S_{i}$ 为移动

i

$i$ 步（后）未离开范围的点个数，则恰好移动

i

$i$ 步的人数为

S_{i - 1} - S_{i}

$S_{i-1}-S_{i}$ （特别的

S_{0} = P

$S_{0}=P$ ），答案即为$\sum_{i=1}^{D}(S_{i-1}-S_{i}) 阅读全文

posted @ 2020-12-16 22:06 PYWBKTDA 阅读(115) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[cf710F]String Set Queries

摘要：考虑对于

S

$S$ 内的每一个串，建立一个ac自动机类似于线段树的结构去合并，即当有两个ac自动机所含串数量相同，就将这两个ac自动机暴力合并删除可以再建一组ac自动机，减去即可由于每一个串至多参与

\log n

$\log n$ 次合并，且最终ac自动机个数也为

\log n

$\log n$ ，因此总复杂度即为$o(n\log n 阅读全文

posted @ 2020-12-16 10:45 PYWBKTDA 阅读(101) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atAGC046E]Permutation Cover

摘要：每一个点都在一个排列中等价于所有排列覆盖所有位置有解当且仅当满足

a_{y} \leq 2 a_{x}

$a_{y}\le 2a_{x}$ （其中

a_{x}

$a_{x}$ 为

a_{i}

$a_{i}$ 的最小值，

a_{y}

$a_{y}$ 为

a_{i}

$a_{i}$ 的最大值）证明：贪心选择排列覆盖，即令

r^{'} = 与 [1, r] 有 交 的 排 列 中 最 大 的 右 端 点 + 1

$r'=与[1,r]有交的排列中最大的右端点+1$ （初始

r = 1

$r=1$ ，若

r = r^{'}

$r=r'$ 则阅读全文

posted @ 2020-12-16 08:12 PYWBKTDA 阅读(142) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atARC088F]Christmas Tree

摘要：合并具有交换律，因此即将一个连通块（初始为空）与一条链合并（其中各选1点，初始直接替换）把插入改为染色，等价于对树上的一条链（包括点和边）染色，其中恰好有1个已经被染色的点（初始任意）对于”恰有1个已被染色的点“这个条件，其实是可以忽略的，证明如下：由于染色的点必然是一个完整的连通块，即如果包阅读全文

posted @ 2020-12-14 08:57 PYWBKTDA 阅读(145) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atARC109F]1D Kingdom Builder

摘要：考虑最终有石子的位置的状态，判断一种状态是否可行反过来，依次删除石子，删除条件是：当删除的石子是该段最后一个（即其两边都没有石子了），要求除其以外，每个连续段旁边的两个点都与其颜色不同构造一种删除方案：除了最先删除的段以外，必然有一时刻（即该段最后一个位置删除时）其余段旁边的两个点颜色都相同，阅读全文

posted @ 2020-12-12 13:37 PYWBKTDA 阅读(183) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[luogu4259]寻找车位

摘要：考虑一个分治的做法：按行分治，将所有区间分为两类——经过分割线的、在左/右区间内部，后者显然可以递归下取，考虑前者先求出出该行上每一列向上和向下的最大长度，记作

u p_{i}

$up_{i}$ 和

d o w n_{i}

$down_{i}$ ，然后枚举左端点

l

$l$ ，找到最小的右端点

r

$r$ 满足$r-l+1\le min_{i=l}^{r}up 阅读全文

posted @ 2020-12-12 09:00 PYWBKTDA 阅读(117) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atARC087F]Squirrel Migration

摘要：对这棵树重心情况分类讨论： 1.若这棵树存在两个重心，分别记作

x

$x$ 和

y

$y$ ，如果将

(x, y)

$(x,y)$ 断开，两棵子树大小都相同（都为

\frac{n}{2}

$\frac{n}{2}$ ），此时

p_{i}

$p_{i}$ 与

i

$i$ 必然不同属于一个连通块中，证明如下：考虑若

p_{i}

$p_{i}$ 与

i

$i$ 在一个连通块中，则必然有

p_{j}

$p_{j}$ 和

j

$j$ 也在阅读全文

posted @ 2020-12-11 14:31 PYWBKTDA 阅读(131) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atARC087E]Prefix-free Game

摘要：建一棵trie树，考虑一个串，相当于限制了其子树内部+其到根的链如果将所有点补全，那么这个问题可以看作每一个极浅（子树内没有其他满足条件）的到根路径以及子树内部没有其他结束点的子树的子问题对于多个子问题博弈，很明显去求sg，由于是一颗满二叉树，因此只与深度

l

$l$ （指该子树深度，与全局的

L

$L$ 无关阅读全文

posted @ 2020-12-10 21:50 PYWBKTDA 阅读(134) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atARC110F]Esoswap

摘要：先构造使得

p_{i}

$p_{i}$ 降序（即

p_{i} = n - 1 - i

$p_{i}=n-1-i$ ），只需要从后往前，不断执行

i

$i$ 操作直至合法即可正确性的证明：首先保证了

[0, n - i)

$[0,n-i)$ 这些数字都已经出现，因此操作不会破坏已确定的数字的顺序同时，一个数字不会重复出现，因为若要与其交换后的位置再交换，仍需要其本身，显然不可能（特别阅读全文

posted @ 2020-12-10 13:21 PYWBKTDA 阅读(287) 评论(0) 推荐(1) 编辑

[atARC110E]Shorten ABC

摘要：考虑令

a

$a$ 、

b

$b$ 和

c

$c$ 分别对应1、2和3，那么每一次相当于令

x

$x$ 和

y

$y$ 变为

x \oplus y

$x\oplus y$ （要求

x \neq y

$x\ne y$ ）根据异或的结合律，我们相当于将其划分为若干个区间求异或值（另外还有

x \neq y

$x\ne y$ 的条件，归纳可证等价于要求区间异或值不为0且区间内字母不完全相等或仅有1个字母）为阅读全文

posted @ 2020-12-10 09:08 PYWBKTDA 阅读(274) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atARC084F]XorShift

摘要：如果异或变为加法和减法，那么根据扩欧，

k

$k$ 合法当且仅当

k | {gcd}_{i = 1}^{n} a_{i}

$k|\gcd_{i=1}^{n}a_{i}$ 换一种方式定义约数：

x

$x$ 是

y

$y$ 的约数当且仅当存在

p_{i} \in {0, 1}

$p_{i}\in \{0,1\}$ 使得

\sum_{i = 0}^{\infty} 2^{i} x = y

$\sum_{i=0}^{\infty}2^{i}x=y$ ，那么类似的，再把加法改为异或，我们就得到了本阅读全文

posted @ 2020-12-05 22:05 PYWBKTDA 阅读(162) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atARC084D]Small Multiple

摘要：构造一张图：

\forall x

$\forall x$ ，向

10 x

$10x$ 连一条边权为0的边，向

x + 1

$x+1$ 连1条边权为1的边，那么0到

i

$i$ 的代价即为

i

$i$ 各位数字之和考虑到我们只关心于当前点的两个特征：1.模

n

$n$ 的余数（判定是否是

n

$n$ 的倍数）；2.所对应的出边，那么根据模运算的性质，可以将$x\equiv y(mod 阅读全文

posted @ 2020-12-05 11:36 PYWBKTDA 阅读(130) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atARC083F]Collecting Balls

摘要：考虑一个构造，对于坐标

(x, y)

$(x,y)$ ，连一条

x

$x$ 到

y

$y$ 的边（注意：横坐标和纵坐标即使权值相同也是不同的点），之后每一个连通块独立，考虑一个连通块内部：每一个点意味着一次删除操作，每一个边意味着一个坐标，由于每一次操作最多删除一个点，因此首先点数要大于等于边数，同时总边数=总点数=

2 n

$2n$ ，因此阅读全文

posted @ 2020-12-03 15:42 PYWBKTDA 阅读(144) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atARC086F]Shift and Decrement

摘要：将

A

$A$ 操作看作直接除以2（保留小数），最终再将

a_{i}

$a_{i}$ 取整记

k

$k$ 表示

A

$A$ 操作的次数，

p_{i}

$p_{i}$ 表示第

i

$i$ 次

A

$A$ 和第

i + 1

$i+1$ 次

A

$A$ 之间

B

$B$ 操作的次数（特别的，

p_{0}

$p_{0}$ 为第1次

A

$A$ 操作前，

p_{k}

$p_{k}$ 为最后一次

A

$A$ 操作后），则有$a'_{i}=\lfloor\fr 阅读全文

posted @ 2020-12-02 18:55 PYWBKTDA 阅读(164) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atAGC049F]Happy Sequence

摘要：定义

L = 2 \cdot 10^{5}

$L=2\cdot 10^{5}$ ，

g (x) = \sum_{i = 1}^{n} | b_{i} - x | - | a_{i} - x |

$g(x)=\sum_{i=1}^{n}|b_{i}-x|-|a_{i}-x|$ ，则合法当且仅当

\forall 0 \leq x \leq L, g (x) \geq 0

$\forall 0\le x\le L,g(x)\ge 0$ ，由此也可以得到

0 \leq a_{i}^{'} \leq L

$0\le a'_{i}\le L$ （证明略）初始令

a_{i}^{'} = 0

$a'_{i}=0$ （即带来初始阅读全文

posted @ 2020-12-01 22:08 PYWBKTDA 阅读(177) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[atARC109E]1D Reversi Builder

摘要：归纳每一次操作后必然是两个颜色相同的连续段（即ww...bb...或bb...ww...），对操作的位置分类讨论不难证明正确性当

c_{1} = c_{n}

$c_{1}=c_{n}$ ，由于端点颜色不会修改，再根据该结论，可以得到

f (s, c_{i}) = c_{1} \cdot n

$f(s,c_{i})=c_{1}\cdot n$ （w为0，b为

n

$n$ ）当$c_{1}\ne c 阅读全文

posted @ 2020-12-01 10:22 PYWBKTDA 阅读(185) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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