ARC151+

ARC153F Tri-Colored Paths

参考这里

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ARC154E Reverse and Inversion

考虑\(i\)的系数，即\([1,i)\)中\(>Q_{i}\)的数个数\(-(i,n]\)中\(<Q_{i}\)的数个数

设前者为\(x\)，则后者即\((n-i)-(n-Q_{i}-x)=Q_{i}+x-i\)，进而原式为\(\sum_{i=1}^{n}i(i-Q_{i})\)

若\(Q_{i}\)被操作区间覆盖，则使其到位置\(j\)的区间数为\(\min\{i,n-i+1,j,n-j+1\}\)

注意到该式在\(j\)和\(n-j+1\)处值相同，进而\(E(j)=\frac{n+1}{2}\)，即可以此计算

时间复杂度为\(O(n\log m)\)

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ARC154F Dice Game

记\(a_{k}\)为随机次数\(>k\)的概率，容斥可得\(a_{k}=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}{n\choose i}(\frac{n-i}{n})^{k}\)，进而答案为

\[\sum_{k\ge 1}(a_{k-1}-a_{k})k^{m}=\sum_{k\ge 0}a_{k}((k+1)^{m}-k^{m})=\sum_{i=0}^{m-1}{m\choose i}\sum_{k\ge 0}a_{k}k^{i} \]

记\(S_{m}=\sum_{k\ge 0}a_{k}k^{m}\)，则求出\(S_{m}\)后NTT即可

\[S_{m}=\sum_{k\ge 0}a_{k}m![x^{m}]e^{kx}=m![x^{m}]\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}{n\choose i}\sum_{k\ge 0}(\frac{n-i}{n}e^{x})^{k}=m![x^{m}]\sum_{i=1}^{n}\frac{(-1)^{i-1}{n\choose i}}{1-\frac{n-i}{n}e^{x}} \]

分治NTT求出\(\sum_{i=1}^{n}\frac{(-1)^{i-1}{n\choose i}}{1-\frac{n-i}{n}x}=\frac{P(x)}{Q(x)}\)，则\(S_{m}=m![x^{m}]\frac{P(e^{x})}{Q(e^{x})}\)

对于\(A(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\)，有

\[[x^{m}]A(e^{x})=\frac{1}{m!}\sum_{i=0}^{n}a_{i}i^{m}=\frac{1}{m!}[x^{m}]\sum_{i=0}^{n}\frac{a_{i}}{1-ix} \]

再次分治NTT即可，时间复杂度为\(O(n\log^{2}n+m\log m)\)

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ARC155E Split and Square

记\(S\)中元素构成的线性基为\(e_{1},e_{2},...,e_{m}\)，则\(S=\{0\}\iff m=0\)

对于\(x\in S\)，记\(x\)的分解\(P(x)\subseteq [1,m]\)满足\(\bigoplus_{i\in P(x)}e_{i}=x\)

取\(\begin{cases}T_{1}=\{x\mid 1\in P(x)\}\\T_{2}=\{x\mid 1\not\in P(x)\}\end{cases}\)，则\(f(T_{1})\cup f(T_{2})\)中\(\forall i\in [3,m],e_{2}\oplus e_{i}\)线性无关

同时，对于\(x,y\in T_{1}/T_{2}\)，总有\(1\not\in P(x)\oplus P(y)\)，进而仅\(2\not\mid |P(x)\oplus P(y)|\)时线性无关

这等价于\(|P(x)|\not\equiv |P(y)|\pmod 2\)，结合\(|P(e_{1/2})|=1\)，也即\(\exists x\in S,2\mid |P(x)|\)

这样的数至多新增一个，即\(f(T_{1})\cup f(T_{2})\)的线性基大小为\(m-1-[\forall x\in S,2\not\mid |P(x)|]\)

同时，由于首轮操作后总有\(|P(0)|=0\)，因此后面的条件仅需对初始的\(S\)判定

事实上，这也取到了\(f(T_{1})\cup f(T_{2})\)线性基大小的下界：

不妨假设\(\begin{cases}\forall i\in [1,k],e_{i}\in T_{1}\\\forall i\in (k,m],e_{i}\in T_{2}\end{cases}\)，则\(f(T_{1})\cup f(T_{2})\)中\(\begin{cases}\forall i\in [2,k],e_{1}\oplus e_{i}\\\forall i\in [k+2,m],e_{k+1}\oplus e_{i}\end{cases}\)线性无关

同时，若\(\exists x\in S,2\mid |P(x)|\)，不妨假设\(x\in T_{1}\)，则\(x\oplus e_{1}\)也线性无关

综上，最终答案为\(m-[\forall x\in S,2\not\mid |P(x)|]\)，用bitset实现即可，时间复杂度为\(O(\frac{nm^{2}}{\omega})\)

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ARC155F Directable as Desired

显然若存在定向方式则唯一，不妨对定向后的图计数

任选一点为根，并枚举内向边（从儿子指向父亲）的起点集合\(S\)

• 内向边：构成了恰以\(S\)外的所有点为根的内向树森林

  将\(S\)外的点合并，并枚举其度数，结合purfer序列，方案数即

  \[\sum_{i=0}^{|S|}(n-|S|)^{i}{|S|-1\choose i-1}|S|^{|S|-i}=(n-|S|)n^{|S|-1} \]

• 外向边：将前者的每棵内向树缩点后，构成了一棵外向树

  新建一个点与根节点连边，则每个点的度数为\(\sum_{i\in T}(d_{i}-[i\in S])+1\)（\(T\)为该内向树点集）

  同时，内部实际连边方案数为\({\sum_{i\in T}(d_{i}-[i\in S])\choose \forall i\in T,d_{i}-[i\in S]}\)，分子在purfer序列中抵消，方案数即\({n-|S|-1\choose \forall i\in [1,n],d_{i}-[i\in S]}\)

另外，由于实际上并不存在根节点，最终答案还需要除以\(n\)，即

\[\begin{array}{ll} ans&=\frac{1}{n}\sum_{S\subseteq [1,n]}(n-|S|)n^{|S|-1}\frac{(n-|S|-1)!}{\prod_{i\in S}(d_{i}-1)!\prod_{i\not\in S}d_{i}!} \\ &=\frac{1}{n\prod_{i=1}^{n}d_{i}!}\sum_{S\subseteq [1,n]}(n-|S|)!n^{|S|-1}\prod_{i\in S}d_{i} \end{array} \]

分治NTT求出\(\prod_{i=1}^{n}(1+d_{i}x)\)即可，时间复杂度为\(O(n\log^{2}n)\)

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ARC156F Make Same Set

参考这里

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ARC159F Good Division

一个序列是好的当且仅当长度为偶数且不存在绝对众数

记\(f_{i}\)表示前\(2i\)个数的划分方式，转移即\(f_{i}=\sum_{0\le j<i,(2j,2i]不存在绝对众数}f_{j}\)

枚举绝对众数\(x\)，记\(S_{i}=\frac{1}{2}(\sum_{j=1}^{2i}[a_{j}=x]-[a_{j}\ne x])\)，则\(f_{i}=\sum_{j=0}^{i-1}f_{j}-\sum_{x=0}^{2n}\sum_{0\le j<i,S_{j}<S_{i}}f_{j}\)

• 若\(S_{i}\)为前缀最小值，则后式为\(0\)
• 否则，取\(k\)为上一个满足\(S_{k}=S_{i}\)的位置，则后式即在\(k\)的基础上\(+0/\sum_{j=k+1}^{i-1}f_{j}\)

由于\([S_{n},0]\)中的数均为前缀最小值，进而非前缀最小值至多\(\sum_{i=1}^{2n}[a_{i}=x]\)个，暴力维护即可

视实现方式，时间复杂度为\(O(n)\)或\(O(n\log n)\)