联合省选2023

火车站

显然可行当且仅当轨道连续且存在以其为对应方向端点的轨道

差分判定即可，时间复杂度为$O(n+m)$

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城市建造

$G-E'$为$|V'|$个连通块当且仅当$V'$中的点两两不连通，则：

• $E'$为$V'$的导出子图（$V'$内部的边需被删除）

• 对于路径$a_{0},a_{1},...,a_{k}$，若$a_{0},a_{k}\in V'$，则$a_{i}\in V'$（否则显然连通）

  在此基础上，若某个点双内选了两个点，则所有点均需选择

建立圆方树，问题即选择一个连通块，满足"外围"均为圆点，且删除所有方点后连通块大小合法

枚举连通块大小集合，两个问题即分别形如$\{s\}$或$\{s,s+1\}$（后者还需容斥减去前者）

• 对于前者，显然要求$s\mid n$

• 对于后者，假设分别有$x$和$y$个连通块大小为$s$和$s+1$，则$s(x+y)+y=n$

  记$k=x+y$，则$sk\le n\le (s+1)k$，即$s=\lfloor\frac{n}{k}\rfloor$或$\frac{n}{k}-1$（当$k\mid n$时）

不论哪种情况，均仅有$O(\sqrt{n})$种，可以暴力枚举

此时，在最顶端的方点上统计答案，则：

• 对于圆点，由该圆点是否选择，剩余方点数为$0$或$sz$

  前者方案唯一，后者方案数即所有儿子"剩余方点数合法的方案数"乘积

• 对于方点，儿子中$sz>s$的仅能取$0$，$sz<s$的仅能取$sz$，$sz=s$的至多取一个

  本质不同的方点数仅$O(1)$种，并分别贡献向答案和"剩余方点数合法的方案数"即可

时间复杂度为$O(n\sqrt{n})$，需要一定卡常

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人员调度

不妨钦定有贡献的员工，结合Hall定理，即要求以$k$为根的子树内不超过$sz_{k}$个

维护当前所选的员工，加入时找到第一个不满足限制的祖先，并删去其子树内最小值即可

树剖+线段树维护差值，线段树分治实现删除，时间复杂度为$O((m+k)\log^{2}n\log m)$

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过河卒

局面状态可以用两个$O$和$X$的位置及操作方确定，共$O(n^{3}m^{3})$种

在此基础上，由边界确定结束状态后，显然有以下两种情况：

• 能转移到某个"操作方必败"的状态，则"操作方必胜"且步数为上述的$\min+1$
• 能转移到的状态均为"操作方必胜"，则"操作方必败"且步数为上述的$\max+1$

同时，可以证明不能以此法确定的状态为平局

注意到步数均为$+1$，可以用拓扑排序+bfs的形式实现，时间复杂度为$O(tn^{3}m^{3})$

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填数游戏

将$T_{i}$中的两数连边（相同看作自环），显然每个连通块独立，且有解的必要条件为点数$\ge$边数

换言之，每个连通块仅有以下几种情况：

• 基环树且基环为自环，则选择方式唯一，简单判定即可

• 基环树且基环不为自环，则基环外选择方式唯一，基环上按方向有两种方式

  对于边$(x,y)$，若$A$填$x$则选法$1$答案$+1$，填$y$则选法$2$答案$+1$，需最大化最小答案

  记$s_{x},s_{y},s$为仅能填$x/y$和$x,y$均能填的位置数，则答案即$\begin{cases}\lfloor\frac{s+s_{l}+s_{r}}{2}\rfloor&|s_{l}-s_{r}|\le s\\\min(s_{l},s_{r})+s&|s_{l}-s_{r}|>s\end{cases}$

• 树，不妨任选一点为根建树，则枚举其中未被选择的数$k$后，选择方式唯一

  对于边$(x,y)$（其中$x$为父亲），若$A$填$x$则$k$在$y$子树内时答案$+1$，填$y$则$k$在$y$子树外时答案$+1$

  确定仅能填$x/y$的位置后，考虑决策$x,y$均能填的位置——

  若两个节点无祖先-后代关系且均选子树内，显然不如均选子树外优

  在此基础上，选子树内的节点为从根出发的一条链，暴力枚举并简单维护即可

时间复杂度为$O(\sum n+\sum m)$

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染色数组

参考这里