[atABC288Ex]A Nameless Counting Problem
记\(f(n,m,x)\)为满足\(\begin{cases}a_{i}\in [0,m)\\\bigoplus_{i=1}^{n}a_{i}=x\\\forall i\ne j,a_{i}\ne a_{j}\end{cases}\)的序列\(\{a_{n}\}\)数，则答案即\(\sum_{0\le i\le \lfloor\frac{n}{2}\rfloor}{m+i-1\choose i}\frac{f(n-2i,m+1,x)}{(n-2i)!}\)
记\(g_{k}(n,x)=f(n,2^{k},x)\)，则\(g_{k}(n,x)=\begin{cases}[x=0]&n=0\\(n-1)!{2^{k}\choose n-1}-(n-1)(2^{k}-n+2)g_{k}(n-2,x)&n\ge 1\end{cases}\)
显然\(g_{k}(n,x)\)仅有\(x=0\)和\(x\ne 0\)两种值，以下分别记为\(G_{k,0/1}(n)\)（预处理出）
记\(f_{k}(n,m,x)=f(n,m\%2^{k},x\%2^{k})\)，则
\[f_{k+1}(n,m,x)=\begin{cases}[x_{k}=0]f_{k}(n,m,x)&m_{k}=0\\\sum_{0\le i\le n,i\equiv x_{k}\pmod 2}{n\choose i}\sum_{y=0}^{2^{k}-1}g_{k}(n-i,y)f_{k}(i,m,x\oplus y)&m_{k}=1\end{cases}
\]
（其中\(m_{k}\)和\(x_{k}\)分别表示\(m,x\)二进制下第\(k\)位的值）
关于后者，注意到\(\sum_{y=0}^{2^{k}-1}f_{k}(i,m,x\oplus y)=i!{m\%2^{k}\choose i}\)，则
\[f_{k+1}(n,m,x)=\sum_{0\le i\le n,i\equiv x_{k}\pmod 2}{n\choose i}\left(G_{k,1}(n-i)i!{m\%2^{k}\choose i}+(G_{k,0}(n-i)-G_{k,1}(n-i))f_{k}(i,m,x)\right)
\]
显然可以NTT优化，时间复杂度为\(O(n\log n\log V)\)（其中\(V\)为值域）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef vector<int> vi;
const int N=100005,mod=998244353;
int n,fac[N],inv[N],g[N][2],f[N];
ll m,x;vector<int>v1,v2,v3;
int add(int x,int y){
x+=y;
return (x<mod ? x : x-mod);
}
int qpow(int n,int m){
int s=n,ans=1;
while (m){
if (m&1)ans=(ll)ans*s%mod;
s=(ll)s*s%mod,m>>=1;
}
return ans;
}
namespace Poly{
const int N=18;
int n,tn,w[N][1<<N],iw[N][1<<N];
void init(int g){
for(int i=0;i<N;i++){
w[i][0]=iw[i][0]=1;
w[i][1]=qpow(g,(mod-1>>i+1));
iw[i][1]=qpow(w[i][1],mod-2);
for(int j=2;j<(1<<i);j++){
w[i][j]=(ll)w[i][1]*w[i][j-1]%mod;
iw[i][j]=(ll)iw[i][1]*iw[i][j-1]%mod;
}
}
}
void get_n(int m){
n=1,tn=0;
while (n<m)n<<=1,tn++;
}
void dft(int *a){
for(int i=n,t=0;i>1;i>>=1,t++){
int *W=w[tn-t-1];
for(int j=0;j<n;j+=i)
for(int k=0;k<(i>>1);k++){
int x=a[j+k],y=a[j+k+(i>>1)];
a[j+k]=add(x,y);
a[j+k+(i>>1)]=(ll)(x-y+mod)*W[k]%mod;
}
}
}
void idft(int *a){
for(int i=2,t=0;i<=n;i<<=1,t++){
int *W=iw[t];
for(int j=0;j<n;j+=i)
for(int k=0;k<(i>>1);k++){
int x=a[j+k],y=(ll)W[k]*a[j+k+(i>>1)]%mod;
a[j+k]=add(x,y),a[j+k+(i>>1)]=add(x,mod-y);
}
}
int inv=qpow(n,mod-2);
for(int i=0;i<n;i++)a[i]=(ll)inv*a[i]%mod;
}
vi mul(vi a,vi b,int ma,int mb,int m){
if (ma<0)ma=a.size();
if (mb<0)mb=b.size();
if (m<0)m=ma+mb-1;
ma=min(ma,m),mb=min(mb,m);
get_n(ma+mb-1);
a.resize(n),b.resize(n);
for(int i=ma;i<n;i++)a[i]=0;
for(int i=mb;i<n;i++)b[i]=0;
dft(a.data()),dft(b.data());
for(int i=0;i<n;i++)a[i]=(ll)a[i]*b[i]%mod;
idft(a.data()),a.resize(m);
return a;
}
};
int main(){
Poly::init(3);
fac[0]=inv[0]=inv[1]=1;
for(int i=1;i<N;i++)fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;
for(int i=2;i<N;i++)inv[i]=(ll)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
for(int i=2;i<N;i++)inv[i]=(ll)inv[i-1]*inv[i]%mod;
scanf("%d%lld%lld",&n,&m,&x);
m++,v1.resize(n+1),v2.resize(n+1);
g[0][0]=g[1][0]=g[1][1]=f[0]=1;
for(int k=0;k<61;k++){
int C=(1LL<<k)%mod,s=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if (i>(1LL<<k))g[i][0]=g[i][1]=0;
else{
s=(ll)s*(C-i+2)%mod;
for(int p=0;p<2;p++)g[i][p]=(s+(ll)(mod-i+1)*(C-i+2)%mod*g[i-2][p])%mod;
}
}
if ((m>>k)&1^1){
if ((x>>k)&1)memset(f,0,sizeof(f));
}
else{
C=(m&(1LL<<k)-1)%mod,s=1;
for(int i=0;i<=n;i++){
v1[i]=(ll)inv[i]*((i&1)==((x>>k)&1) ? s : 0)%mod;
v2[i]=(ll)inv[i]*g[i][1]%mod;
s=(ll)s*(C-i+mod)%mod;
}
v3=Poly::mul(v1,v2,-1,-1,-1);
for(int i=0;i<=n;i++){
v1[i]=(ll)inv[i]*((i&1)==((x>>k)&1) ? f[i] : 0)%mod;
v2[i]=(ll)inv[i]*(g[i][0]-g[i][1]+mod)%mod;
f[i]=v3[i];
}
v3=Poly::mul(v1,v2,-1,-1,-1);
for(int i=0;i<=n;i++)f[i]=(ll)fac[i]*(f[i]+v3[i])%mod;
}
}
int s=1;
for(int i=0;i<=n;i++){
if (i&1)v1[i]=0;
else{
v1[i]=(ll)s*inv[i>>1]%mod;
s=(m+(i>>1))%mod*s%mod;
}
v2[i]=(ll)f[i]*inv[i]%mod;
}
v3=Poly::mul(v1,v2,-1,-1,-1);
for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d\n",v3[i]);
return 0;
}
