WC2023(授课与讨论7)

Fabulous Fungus Frenzy

将过程逆序，\(1\)操作不变，\(2\)操作即将与模板矩阵匹配的子矩形变为通配符

借助\(1\)操作，在合适的顺序下，可以在\(n+m\)次操作内修改一个位置

在此基础上，不断找到一个"可操作"的模板矩阵，并调整后操作

（这里"可操作"是指可以构造出一个能匹配且不全为通配符的子矩形）

关于操作次数，这里分为四类：

• 每次\(2\)操作至少增加一个通配符，因此至多\(nm\)次\(2\)操作

• 每个模板矩阵第一次操作时，至多\(knm(n+m)\)次\(1\)操作

• 之后每次在第一次的位置上操作，注意到上一次操作后已经全是通配符

  换言之，此时每次交换均对应于某个位置变为通配符，至多\(nm(n+m)\)次\(1\)操作

• 得到最终的矩阵后，若无法匹配则无解，否则至多\(nm(n+m)\)次\(1\)操作

综上，\(1\)操作总次数最多为\(2\times 20^{4}+4\times 20^{3}=352000\)

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Neue Spiel

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Topology

咕咕咕

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Drawing

咕咕咕

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Hoof and Brain

考虑以下两种情况：

• 对于出度为\(0\)的点，后手不能移动到该点，不妨删除

• 对于出度为\(1\)的点，后手移动到该点后，下次只能移动对应出边

  不妨合并两点，用线段树合并维护边集，并需去掉重边

重复上述过程，若最终\(x\)或\(y\)被删除或两者在同一点上，显然先手必胜

同时，若不为上述情况，每个点出度均\(\ge 2\)，显然后手必胜

换言之，该条件充分必要，时间复杂度为\(O(n+q+m\log m)\)

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放学路

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