[loj2846]量子隐形传态
假设当前位于$A(x,y)$，将坐标系按上下左右、(左/右)(上/下)分为八块
结论：存在一组最优解，每次均移动到某一块中距离$(x,y)$最近的某点
记$d(A,B)$为$A$到$B$的切比雪夫距离，即$\max(|x_{A}-x_{B}|,|y_{A}-y_{B}|)$
假设移动到的点为$B$，而该块中最近的某点为$C$，则$d(A,C),d(B,C)<d(A,B)$
（前者根据定义显然，后者考虑$dis(A,B)$中较大的一维即可）
换言之，有$2^{d(A,C)}+2^{d(B,C)}\le 2^{d(A,B)}$，从$C$经过不劣，即得证
上下左右四部分显然该点唯一，可以直接连边
(左/右)(上/下)四部分建立一个虚点，并从虚点向这些取到最近距离的点连边
此时，虽然图中有$O(n^{2})$条边，但实际有边权的边仅有$O(n)$条
考虑dijkstra求最短路，并用（手写）bitset维护距离
对于带权边，可以$O(\frac{n}{\omega})$更新；对于不带权边，可以直接更新，且至多$O(n)$次
每次取出最小距离可以用堆/线段树维护，单次更新的复杂度为$O(\frac{n\log n}{\omega})$
综上，总复杂度为$O(n^{2}+\frac{n^{2}\log n}{\omega})$，可以通过
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define L (k<<1) 4 #define R (L|1) 5 #define mid (l+r>>1) 6 typedef unsigned long long ull; 7 const int N=10100,M=90005,oo=0x3f3f3f3f; 8 int n,V,x[N],y[N],a[N][8],id[N][8],vis[M],from[M],f[M<<2]; 9 ull d[M][N>>6];pair<int,int>pos[M]; 10 vector<int>ans,v[N][8]; 11 int dis(int i,int j){ 12 return max(abs(x[i]-x[j]),abs(y[i]-y[j])); 13 } 14 int dir(int i,int j){ 15 int dx=(x[i]==x[j] ? 2 : x[i]<x[j]); 16 int dy=(y[i]==y[j] ? 2 : y[i]<y[j]); 17 return dx*3+dy; 18 } 19 bool cmp(int x,int y){ 20 for(int i=(N>>6)-1;i>=0;i--) 21 if (d[x][i]!=d[y][i])return d[x][i]<d[y][i]; 22 return 0; 23 } 24 void add(int x,int y){ 25 memcpy(d[0],d[x],sizeof(d[0])); 26 if (y<0)return; 27 ull s=((ull)1<<(y&63)); 28 y>>=6,d[0][y]+=s; 29 if (d[0][y]<d[x][y]){ 30 y++; 31 while (d[0][y]==(ull)-1)d[0][y++]=0; 32 d[0][y]++; 33 } 34 } 35 void up(int k){ 36 if ((!f[L])||(!f[R]))f[k]=(f[L]|f[R]); 37 else f[k]=(cmp(f[L],f[R]) ? f[L] : f[R]); 38 } 39 void build(int k,int l,int r){ 40 if (l==r){ 41 f[k]=(l==1); 42 return; 43 } 44 build(L,l,mid),build(R,mid+1,r); 45 up(k); 46 } 47 void update(int k,int l,int r,int x,int y){ 48 if (l==r){ 49 f[k]=y; 50 return; 51 } 52 if (x<=mid)update(L,l,mid,x,y); 53 else update(R,mid+1,r,x,y); 54 up(k); 55 } 56 int main(){ 57 scanf("%*d%*d%d",&n); 58 for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&x[i],&y[i]); 59 V=n; 60 memset(a,0x3f,sizeof(a)); 61 for(int i=1;i<=n;i++){ 62 for(int j=1;j<=n;j++){ 63 int D=dis(i,j),P=dir(i,j); 64 if (P==8)continue; 65 if (D<a[i][P])a[i][P]=D,v[i][P].clear(); 66 if (D==a[i][P])v[i][P].push_back(j); 67 } 68 for(int P=0;P<8;P++) 69 if (!v[i][P].empty()){ 70 id[i][P]=++V; 71 pos[V]=make_pair(i,P); 72 } 73 } 74 for(int i=2;i<=V;i++)d[i][(N>>6)-1]=-1; 75 build(1,1,V); 76 while (1){ 77 int k=f[1]; 78 if (k==n)break; 79 if (k<=n){ 80 for(int P=0;P<8;P++) 81 if ((!vis[id[k][P]])&&(id[k][P])){ 82 add(k,a[k][P]); 83 if (cmp(0,id[k][P])){ 84 from[id[k][P]]=k; 85 memcpy(d[id[k][P]],d[0],sizeof(d[0])); 86 update(1,1,V,id[k][P],id[k][P]); 87 } 88 } 89 } 90 else{ 91 int P=pos[k].second; 92 for(int i:v[pos[k].first][P]) 93 if (!vis[i]){ 94 from[i]=k,vis[i]=1; 95 memcpy(d[i],d[k],sizeof(d[i])); 96 update(1,1,V,i,i); 97 } 98 } 99 vis[k]=1,update(1,1,V,k,0); 100 } 101 for(int i=n;i!=1;i=from[i]) 102 if (i<=n)ans.push_back(i); 103 ans.push_back(1); 104 reverse(ans.begin(),ans.end()); 105 printf("%d\n",ans.size()); 106 for(int i:ans)printf("%d ",i); 107 return 0; 108 }
