[luogu8331]简单题

建立(广义)圆方树,并倍增维护答案信息(路径数和路径边权和)

显然答案信息可以支持合并,进而仅需求出同一个点双内两点的答案信息

结论:点双中存在两点x,y,使得整个点双恰由x,y间若干条不交的简单路径构成

对点双建立dfs树,并记s为简单环的边权和(修改边权前)

性质:若两条返祖边有交(指覆盖的树边),则交的边权和为s2

引理:若一条返祖边同时与两条返祖边有交,则两个交相同

关于引理的证明,对这两个交分类讨论:

1.若这两个交无交,则树边边权和已经达到s,该返祖边边权0,矛盾

2.若这两个交有交,则两者的交即为所交的两条返祖边的交,边权和同样为s2

如果这两个交不同,必然有严格多于交的部分,该部分边权和=0,矛盾

根据此引理,对返祖边的情况分类讨论:

1.若不存在两条返祖边有交,此时的点双必然形如两点一边或环,均显然成立

2.若存在两条返祖边有交,则仅能添加若干个"套"在交上的环,取交的两个端点作为x,y即可

关于如何找到x,y,即度数3的两点(若不存在任选两点)

在此基础上,答案信息显然容易求出,视实现单次为o(1)o(logn)

总复杂度为o(n+qlogn)o(nlogn+qlogn),可以通过

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