[uoj728]坏掉的设备2

构造$\{t_{i}\}=10101\cdots $，此时将$10$分别看作$\pm 1$，则其前缀和$\in \{0,1\}$

此时，将两者"乱序归并"后，其对$\{s_{i}\}$前缀和的影响不大，进而有以下构造——

记$a_{i}$为$A$二进制下第$i$位，$\forall i\in [1,60]$依次在$\{s_{i}\}$末尾加入$2+[a_{i}\ne a_{i-1}]$个$a_{i}$（定义$a_{0}=1$）

乱序合并后，维护$s$表示$\{u_{i}\}$的前缀和，每当$|s|\ge 2$则得到下一位（根据$s$的符号）并清空$s=0$

关于上述做法的正确性，证明如下——

归纳证明前$k-1$位正确且第$k$位至少在混合到$\{s_{i}\}$中第1个$a_{k}$后得到

注意到忽略$\{t_{i}\}$时，$1$恰会在最后一个$a_{k}$上得到$,0$恰会在倒数第2个$a_{k}$上得到

在此基础上，$\{t_{i}\}$至多使前者向前一个/后者向后一个，均在$a_{k}$上，进而第$k$位也正确

若在最后一个$a_{k}$上得到，显然仅通过$\{t_{i}\}$无法达到$\pm 2$，因此必然用到$a_{k+1}$

若在倒数第2个$a_{k}$上得到，注意到此时$a_{k}$和$\{t_{i}\}$的下一位相同，同样需要用到$a_{k+1}$

事实上，上述做法本质上即能够确定满足以下条件的$\{s_{i}\}$

条件：每一个极长$01$段的长度为$\ge 3$的奇数（以$1$为开头则该段长度为偶数）

进一步的，考虑以下两个优化——

优化1：在$\{s_{i}\}$末尾不断加入一个与原来末尾不同的字符

结合前面的分析，这样不会使得$s$达到$\pm 2$，进而可以确定额外增加的长度

优化2：在$\{s_{i}\}$开头增加一个1，并将所有$\{s_{i}\}$和$\{t_{i}\}$中的$01$翻转

此时，$\{u_{i}\}$中的第1个字符变为标识符，并对之后的字符做同样的处理

打表可得上述形式且长度$\le 140$的$\{s_{i}\}$个数$\ge 10^{18}$，将这些$\{s_{i}\}$编号即可

#include<bits/stdc++.h>
#include "Anna.h"
using namespace std;
#define N 200
#define ll long long
#define vi vector<int>
int n,len;ll sum,f1[N],f2[N];vi s,t;
int Declare(){
    n=140,f1[0]=f2[0]=1,sum=f2[1]=0;
    for(int i=1;i<n;i++){
        f1[i]=0;
        for(int j=3;j<=i;j+=2)f1[i]+=f1[i-j];
    }
    for(int i=2;i<n;i++)f2[i]=f1[i]+f2[i-2];
    for(int i=1;i<n;i++)sum+=(n-i)*f2[i];
    return n;
}
void add(int k,int p){
    for(int i=1;i<=k;i++)s.push_back(p);
}
pair<vi,vi> Anna(ll A){
    s.clear(),t.clear();
    bool flag=0;
    if (sum<A)A-=sum,flag=1;
    for(int i=1;i<n;i++){
        if ((n-i)*f2[i]<A)A-=(n-i)*f2[i];
        else{
            for(int j=0;j<n-i;j++)
                if (f2[i]<A)A-=f2[i];
                else{
                    len=i+j+1,s.push_back(1);
                    while (i){
                        if (f1[i]<A)A-=f1[i],i-=2,add(2,1);
                        else{
                            int p=0;
                            while (i){
                                i-=3,add(3,p);
                                while (f1[i]<A)A-=f1[i],i-=2,add(2,p);
                                p^=1;
                            }
                        }
                    }
                    for(int k=1;k<=j;k++)s.push_back(s.back()^1);
                    for(int k=1;k<=len;k++)t.push_back(k&1);
                    if (flag){
                        for(int k=0;k<len;k++)s[k]^=1,t[k]^=1;
                    }
                    return make_pair(s,t);
                }
        }
    }
}

#include<bits/stdc++.h>
#include "Bruno.h"
using namespace std;
#define N 200
#define ll long long
#define vi vector<int>
int n,len;ll sum,ans,f1[N],f2[N];vi v;
void init(){
    n=140,f1[0]=f2[0]=1,sum=f2[1]=0;
    for(int i=1;i<n;i++){
        f1[i]=0;
        for(int j=3;j<=i;j+=2)f1[i]+=f1[i-j];
    }
    for(int i=2;i<n;i++)f2[i]=f1[i]+f2[i-2];
    for(int i=1;i<n;i++)sum+=(n-i)*f2[i];
}
ll Bruno(vi u){
    init();
    len=(u.size()>>1),ans=1,v.clear();
    if (!u[0]){
        ans+=sum;
        for(int i=0;i<u.size();i++)u[i]^=1;
    } 
    int s=0;u.erase(u.begin());
    for(int i:u){
        s+=(i ? 1 : -1);
        if (abs(s)>=2)v.push_back(s==2),s=0;
    }
    int leni=2+(v[0]!=1);
    for(int i=1;i<v.size();i++)leni+=2+(v[i]!=v[i-1]);
    for(int i=1;i<leni;i++)ans+=(n-i)*f2[i];
    ans+=(len-leni-1)*f2[leni];
    for(int i=0,j=0;i<v.size();i=j){
        if ((i)||(!v[i]))leni-=3,j++;
        while ((j<v.size())&&(v[i]==v[j]))ans+=f1[leni],leni-=2,j++;
    }
    return ans;
}