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[atARC138E]Decreasing Subsequence

a_{i}\ne 0连边(i,a_{i}),得到的图即由若干编号严格递减的路径和自环构成

考虑(i_{j},a_{i_{j}})所在的路径,按照a_{i_{j}}左侧和i_{j}右侧将点集划分为LRk条路径取并)

另外,需要特判a_{i_{1}}=i_{1}的情况,具体做法类似,以下不作考虑

枚举|L|和||R|,并依次进行以下步骤确定贡献:

1.在n个点中选择|L|+|R|个点(两者之间有序)

2.将这|L||R|个点分别划分为k条路径(两者之间连边确定)

3.将剩下的n-|L|-|R|个点构成一张合法的图

显然均可简单dp得到(实际就是第二类斯特林数),时间复杂度为o(n^{2}),可以通过

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 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 5005
 4 #define mod 1000000007
 5 #define ll long long
 6 int n,m,ans,C[N][N],g[N][N],sum[N],f[N];
 7 int main(){
 8     scanf("%d%d",&n,&m);
 9     for(int i=0;i<=n;i++){
10         C[i][0]=C[i][i]=1;
11         for(int j=1;j<i;j++)C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
12     }
13     g[0][0]=1;
14     for(int i=1;i<=n;i++)
15         for(int j=1;j<=i;j++)g[i][j]=(g[i-1][j-1]+(ll)j*g[i-1][j])%mod;
16     for(int i=0;i<=n;i++){
17         for(int j=0;j<=i;j++)sum[i]=(sum[i]+g[i][j])%mod;
18         for(int j=0;j<=i;j++)f[i]=(f[i]+(ll)C[i][j]*sum[i-j])%mod;
19     }
20     for(int i=m;i<=n;i++)
21         for(int j=m;j<=n;j++){
22             if (i+j<=n)ans=(ans+(ll)C[n][i+j]*g[i][m]%mod*g[j][m]%mod*f[n-i-j])%mod;
23             if (i+j-1<=n)ans=(ans+(ll)C[n][i+j-1]*g[i-1][m-1]%mod*g[j-1][m-1]%mod*f[n-i-j+1])%mod;
24         }
25     printf("%d\n",ans);
26     return 0;
27 } 
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